Exercici 2 · Matrices y Vectores UB 2023

a) Valor crític del paràmetre k

Solución: $1/2$

a) Dimensió de F quan k = 1/2

Solución: $2$

a) Dimensió de F quan k ≠ 1/2

Solución: $3$

a) Justificació / càlculs d'escalonament

Solución: $F_3 \to F_3 - kF_1$ porta la matriu a files $(1, 1, -1, 1)$, $(0, 1, -2, 0)$ i $(0, 0, 2k-1, 0)$.

b) Per a cada valor de k, trobeu una base de F i amplieu-la fins a obtenir una base de tot l'espai E

Solución: Cas $k = 1/2$: $B_F = (u_1+u_2-u_3+u_4, u_2-2u_3)$, $B_E = (u_1+u_2-u_3+u_4, u_2-2u_3, u_3, u_4)$. Cas $k \neq 1/2$: $B_F = (u_1+u_2-u_3+u_4, u_2-2u_3, -u_3+k(u_1+u_2+u_3+u_4))$, $B_E = (u_1+u_2-u_3+u_4, u_2-2u_3, -u_3+k(u_1+u_2+u_3+u_4), u_4)$.

c) Per a k = 1, coordenades del vector u1 + u2 + u3 + u4 en la base de E

Solución: $(-1, 0, 2, 0)$

c) Procediment / raonament de les coordenades

Solución: $v = \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \alpha_3 w_3 + \alpha_4 w_4$; observant que $w_3 = v - u_3$ i $w_1 - w_3 = -u_3$, tenim $v = w_3 + (w_3 - w_1) = -w_1 + 2w_3$.