Examen de Matrices y Vectores UB 2023 · final (11 de gener de 2023)

Exercici 1. Operacions amb subespais a $\mathbb{R}^4$

Es consideren els subespais vectorials de $\mathbb{R}^4$ definits a continuació:

$$F = \langle(1, -1, 2, 3),\, (1, -5, 5, 10),\, (1, 3, -1, -4)\rangle$$

$$G = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x - z + t = 0 \quad \text{i} \quad 2x - y - z + t = 0\}$$

$$H = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y - z + t = 0 \quad \text{i} \quad 2x + z = 0\}$$

Calculeu la dimensió de cadascun dels subespais següents: $(F + G) \cap H$ i $(F \cap G) + H$. A més a més, proporcioneu una base i unes equacions implícites independents per a cadascun d'ells.

Subespai $(F + G) \cap H$:

1.

2.

3.

Subespai $(F \cap G) + H$:

4.

5.

6.

Exercici 2. Dependència lineal i canvi de base

Sigui $E$ un espai vectorial i $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ una base de $E$. Definim la següent família de vectors de $E$ en funció d'un paràmetre real $a$:

$$\begin{aligned} u_1 &= e_1 + e_3, \\ u_2 &= e_1 - e_2 + a e_3, \\ u_3 &= e_1 - e_3 + a e_4, \\ u_4 &= e_2 - e_4. \end{aligned}$$

a.

Trobeu per a quins valors del paràmetre $a$ el conjunt de vectors $\{u_1, u_2, u_3, u_4\}$ constitueix una base de l'espai $E$.

Indica els valors separats per comes (per exemple: -1, 2) o la condició $a \neq \dots$

b.

Prenent el valor $a = 0$, determineu la matriu de canvi de base de la base $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ a la base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$, i calculeu les coordenades del vector $v = e_1 + e_2 + e_3 + e_4$ respecte de la base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$.

Exercici 3. Matrius nilpotents i expressió de la inversa

a)

Sigui $B$ una matriu quadrada d'ordre $n \times n$ tal que $B^k = 0$ per a cert nombre natural $k \ge 2$, i sigui $I$ la matriu identitat d'ordre $n \times n$. Demostreu que es verifica la igualtat:

$$(I - B)(I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) = I.$$

b)

Considerem la matriu $B = (b_j^i)_{1 \le i, j \le n}$ donada per:

$$b_j^i = \begin{cases} 1 & \text{si } j = i + 1 \\ 0 & \text{si } j \ne i + 1 \end{cases}$$

Determineu la inversa de la matriu $A = I - B$.

Exercici 4. Aplicació lineal sobre matrius 2×2

Sigui $E = \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ l'espai vectorial de les matrius quadrades d'ordre 2 amb coeficients reals. Es defineix l'aplicació:

$$f\colon E \longrightarrow E, \quad A \longmapsto A + A^T$$

a)

Demostreu que $f$ és una aplicació lineal.

b)

Trobeu la matriu associada a l'aplicació $f$ respecte de la base canònica d'ordre $E$:

$$\mathcal{B} = \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)$$

c)

Calculeu la dimensió i determineu una base tant del nucli ($\ker f$) com de la imatge ($\operatorname{Im} f$) de l'aplicació.

d)

Esbrineu si es compleix que $E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f$.

Sí

No

Teoria. Suma directa de subespais vectorials

Sigui $E$ un espai vectorial sobre un cos $\mathbb{K}$, i siguin $F$ i $G$ dos subespais vectorials de $E$.

Definiu quan es diu que els subespais $F$ i $G$ estan en suma directa. A continuació, enuncieu tres condicions equivalents perquè $F$ i $G$ estiguin en suma directa i demostreu l'equivalència entre elles.