Exercici 4 · Matrices y Vectores UB 2023

Enunciado

Exercici 4. Aplicació lineal, nucli, imatge i potències (10 punts)

Considerem l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definida per $f(x, y, z) = (y, x - z, -x + y + z).$

[2 punts] Doneu la matriu associada a $f$ en la base canònica de $\mathbb{R}^3$ , $((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$ .

[3 punts] Calculeu la dimensió i una base del nucli de $f$ ( $\ker f$ ) i de la imatge de $f$ ( $\operatorname{Im} f$ ).

[3 punts] Proveu que, per a qualsevol nombre enter $n \ge 2$ , es compleix la igualtat $f^n = f^2$ .

[2 punts] Trobeu tots els vectors $u \in \mathbb{R}^3$ que satisfan $f(u) = f(1, 1, 1)$ .

Enunciado: Exercici 4 · Matrices y Vectores UB 2023

Según los criterios oficiales de corrección

a. (2 punts) Doneu la matriu associada a f en la base canònica de R^3, ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)).

Solución: $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

b. Dimensió del nucli de f (ker f).

Solución: 1

b. Base del nucli de f (ker f).

Solución: $(1, 0, 1)$

b. Dimensió de la imatge de f (Im f).

Solución: 2

b. Base de la imatge de f (Im f).

Solución: $\{(0,1,-1), (1,0,1)\}$

c. Matriu M^2.

Solución: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

c. (3 punts) Proveu que, per a qualsevol nombre enter n >= 2, es compleix la igualtat f^n = f^2.

Solución: $M^3 = M^2 \cdot M = M^2$ , d'on per inducció $M^n = M^2$ per a tot $n \ge 2$ .

d. (2 punts) Trobeu tots els vectors u in R^3 que satisfan f(u) = f(1, 1, 1).

Solución: $u = (1+\lambda, 1, 1+\lambda)$ , amb $\lambda \in \mathbb{R}$

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.