Exercici 5 - Teoria · Matrices y Vectores UB 2023

Tema: Teoria: definicions i demostracions · Del examen Examen de reavaluació (gener 2023) (2023)

Enunciado

Exercici 5 - Teoria. Invertibilitat i rang màxim d'una matriu quadrada (10 puntos)

Sigui AA una matriu d'ordre n×nn \times n amb coeficients en un cos KK. Proveu que AA és invertible si, i només si, el rang de AA és igual a nn.

1.

2.

Enunciado: Exercici 5 - Teoria · Matrices y Vectores UB 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

1. Implicació directa (=>): Si A és invertible, llavors rang(A) = n.

Solución: Demostració considerant l'endomorfisme fA:Kn→Knf_A: K^n \to K^n donat per fA(x)=Axf_A(x) = Ax: com que AA és invertible, fAf_A és bijectiva, en particular suprajectiva, pel que Im⁡(fA)=Kn\operatorname{Im}(f_A) = K^n i per tant rang⁡(A)=dim⁡(Im⁡(fA))=n\operatorname{rang}(A) = \dim(\operatorname{Im}(f_A)) = n.

2. Implicació recíproca (<=): Si rang(A) = n, llavors A és invertible.

Solución: Si rang⁡(A)=n\operatorname{rang}(A) = n, dim⁡(Im⁡(fA))=n\dim(\operatorname{Im}(f_A)) = n. Com que Im⁡(fA)⊆Kn\operatorname{Im}(f_A) \subseteq K^n tenen la mateixa dimensió finita, fAf_A és suprajectiva. Pel teorema de les dimensions, dim⁡(ker⁡(fA))=0\dim(\ker(f_A)) = 0, per tant és injectiva. En ser isomorfisme lineal, la seva inversa té associada una matriu BB tal que AB=BA=InAB = BA = I_n, és a dir, AA és invertible.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 4 · 2025 · Exercici 5 · 2023 ›

Más ejercicios de Teoria: definicions i demostracions