Examen de Matemàtiques Ii UB 2024 · Juny

Pregunta 1 (0,5 punts). Punt crític en optimització condicionada

Considerant el problema d'òptims condicionats:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} \quad & f(x, y) = x^2 + 3xy + 5y^2 \\ \text{s.a:} \quad & y = x - 18 \end{aligned}$$

Indiqueu quina de les següents afirmacions és correcta:

Pregunta 2 (0,5 punts). Classificació del punt crític

En referència al problema d'òptims condicionats anterior ($f(x, y) = x^2 + 3xy + 5y^2$ subjecte a $y = x - 18$), podem concloure que:

Pregunta 3 (0,5 punts). Multiplicadors de Lagrange en punt crític

Donat el problema d'òptims condicionats:$$\begin{aligned} \text{Opt.} & \quad f(x, y, z) = xy + 2xz + yz, \\ \text{s.a:} & \quad \begin{cases} x + y + z = 2, \\ x - y = 6, \end{cases} \end{aligned}$$i considerant la funció de Lagrange associada:$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = xy + 2xz + yz - \lambda(x + y + z - 2) - \mu(x - y - 6),$$podem afirmar que el punt crític del problema és el $(x = 3, y = -3, z = 2)$ amb multiplicadors de Lagrange:

Pregunta 4 (0,5 punts). Condició de segon ordre amb matriu Hessiana

En resoldre pel mètode de Lagrange el problema d'optimització:$$\begin{aligned} \text{Opt.} & \quad f(x, y) \\ \text{s.a:} & \quad 2x - y = 5, \end{aligned}$$veiem que un punt crític és $(x, y) = (3, 1)$ i en fer la matriu Hessiana de la funció de Lagrange respecte de les variables instrumentals $(x, y)$ en el punt crític, obtenim:$$H_{(x,y)}L(3,1) = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}.$$Aleshores, utilitzant que la restricció del problema és $2x - y = 5$ podem afirmar que:

Pregunta 5 (0,5 punts). Interpretació econòmica del multiplicador de Lagrange

En resoldre pel mètode de Lagrange el problema d'òptims condicionats següent:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} & \quad f(x,y,z) \\ \text{s.a:} & \quad 11x + 35y - 34z = 3530 \end{aligned}$$

i considerant com a funció de Lagrange associada $L(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) - \lambda(11x + 35y - 34z - 3530)$, s'ha obtingut que en l'òptim d'aquest problema el multiplicador de Lagrange és $\lambda = 3$. Si considerem la restricció $11x + 35y - 34z = 3526$ en lloc de la restricció inicial, aleshores podem afirmar que el valor de la funció objectiu en el nou òptim:

Pregunta 6 (0,5 punts). Múltiples solucions en programació lineal

Donat el següent problema de programació lineal:

$$\begin{aligned} \text{Max.} \quad & f(x, y) \\ \text{s.a:} \quad & \begin{cases} x + 2y \le 6 \\ 5x + 2y \le 10 \\ x, y \ge 0 \end{cases} \end{aligned}$$

podem afirmar que el problema té infinits punts on s'assoleix el valor màxim si:

Pregunta 7 (0,5 punts). Modelització de restriccions d'una cartera

Un inversor decideix invertir 40.000 € en l'adquisició d'accions de dues societats: S1 i S2. El preu de cada acció de S1 és de 5 € i el preu de cada acció de S2 és de 10 €.

S1 dedica el 30% de la seva activitat al sector assegurances, el 45% al sector immobiliari i el 25% a l'industrial.

S2 dedica el 45% dels seus recursos al sector assegurances, el 15% a l'immobiliari i el 40% a l'industrial.

L'inversor no vol invertir més del 35% del seu capital en el sector assegurances ni més del 35% en l'industrial. Si $x$ denota el nombre d'accions que l'inversor adquireix de S1 i $y$ el nombre d'accions que adquireix de S2, quina de les següents condicions forma part de les restriccions descrites en aquest enunciat?

Pregunta 8 (0,5 punts). Resolució gràfica de programació no lineal

Donat el següent problema de programació no lineal:

$$\begin{aligned} \text{Opt. } & f(x, y) = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 \\ \text{s.a: } & x - y \ge 1 \end{aligned}$$

podem afirmar que el problema:

Pregunta 9 (0,5 punts). Mínim amb restriccions de desigualtat

Donat el següent problema de programació no lineal:

$$\begin{aligned} \text{Min. } & f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \\ \text{s.a: } & \begin{cases} y \ge 0 \\ (x - 2)^2 + y^2 \le 4 \end{cases} \end{aligned}$$

podem afirmar que el problema assoleix el valor mínim:

Pregunta 10 (0,5 punts). Taula de sensibilitat i preu ombra

En resoldre, amb el complement Solver de l'Excel, un problema d'optimització de Programació Lineal, obtenim la següent taula de sensibilitat:

Nom · Valor Final · Preu Ombra · Restricció costat dret · Augment Permissible · Decrement Permissible

1a restricció · 194 · 0 · 25 · 170 · 10

2a restricció · 120 · 34 · 120 · 120 · 13

3a restricció · 320 · 5 · 320 · 40 · 149

A partir de les dades d'aquesta taula podem afirmar que si només variem el terme independent de la segona restricció de 120 a 150, aleshores es verifica que el valor de la funció objectiu en el nou òptim:

.

Pregunta 11 (0,5 punts). Integral indefinida

La integral indefinida $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx$ és igual a:

Pregunta 12 (0,5 punts). Canvi de variable en integral

Si considerem la integral $\int \left(e^x \cdot e^{e^x}\right) dx$ i apliquem el canvi $t = e^x$, obtenim la integral:

Pregunta 13 (0,5 punts). Paràmetre en integral definida

El valor real negatiu del paràmetre $a < 0$ que satisfà la igualtat $\int_a^2 \left(4x^2 - \frac{100}{3}\right) dx = -56$ és:

Pregunta 14 (0,5 punts). Àrea compresa entre dues paràboles

El valor numèric de l'àrea de la regió del pla delimitada i acotada entre les gràfiques de les funcions $f(x) = x^2 - 1$ i $g(x) = -x^2 + 1$ entre $x = 0$ i $x = 2$ és igual a:

Pregunta 15 (0,5 punts). Càlcul de l'excedent del productor

Si la funció de demanda d'un producte és $p = D(q) = 674 - q^2$ i la funció d'oferta és $p = S(q) = (q + 18)^2$, on $p$ és el preu unitari i $q$ la quantitat demandada, aleshores quina de les següents integrals definides té com a resultat l'excedent del productor per al preu d'equilibri?

Pregunta 16 (0,5 punts). Paràmetre per a solució d'EDO

El valor del paràmetre $k$ que fa que la funció $y = x e^{-x} + k$ sigui solució particular de l'equació diferencial $y'' + y' + \frac{1}{x} y = \frac{1}{2x}$ és:

Pregunta 17 (0,5 punts). Solució general d'EDO separable

La solució general de l'equació diferencial lineal $(x^2 - x) y' = (2x - 1) y$ és:

Pregunta 18 (0,5 punts). EDO lineal de primer ordre

La solució general de l'equació diferencial lineal $y' - \frac{1}{x} y = x$ és:

Pregunta 19 [0,5 punts]. EDO lineal de segon ordre amb coeficients constants

La solució general de l'equació diferencial lineal de segon ordre $y'' + y' - 6y = 12$ és:

Pregunta 20 (0,5 punts). Model de creixement continu del valor financer

Fa quatre anys ($t = 0$) una persona va invertir 50.000 euros en un producte financer. El valor del producte $V$ s'ha revaloritzat al llarg del temps $t$ d'acord a la següent equació diferencial:

$$V' = 0{,}02 \cdot V,$$

on el valor $V$ és una funció que depèn del temps $t$ en anys. Aleshores, el valor del producte avui ($t = 4$), $V(4)$, és:

(Nota: arrodoniu per defecte el valor a dos decimals si el resultat no és exacte).