Examen de Matemàtiques Ii UB 2024 · Exemples

Pregunta 1 (0,5 punts). Punts crítics amb restricció d'igualtat

Considereu el següent problema d'optimització amb restriccions:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} \quad & f(x, y, z) = 4x^2 - xy + 5z^2 \\ \text{s. a} \quad & x + y - z = 990 \end{aligned}$$

Indiqueu quina de les següents afirmacions és correcta respecte als seus punts crítics:

Pregunta 2 (0,5 punts). Classificació del punt crític

En relació amb el problema d'optimització de la pregunta anterior, quina afirmació és certa?

Pregunta 3 [0,5 punts]. Punts crítics amb restricció circular

Es considera el següent problema d'extrems condicionats:

$\begin{array}{ll}

\text{Opt.} & f(x, y) = 2xy \\

\text{s. a} & 4 - x^2 - y^2 = 0

\end{array}$

Quina de les afirmacions següents és correcta?

Pregunta 4 [0,5 punts]. Càlcul del valor màxim condicionat

Sobre el mateix problema d'optimització de la pregunta 3, podem concloure que:

Pregunta 5 (0,5 punts). Optimització gràfica amb corbes de nivell parabòliques

Considereu el problema d'optimització amb restricció d'igualtat:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} \quad & z = f(x, y) \\ \text{s. a} \quad & g(x, y) = b \end{aligned}$$

La representació gràfica de la restricció $g(x, y) = b$ (una circumferència) i les corbes de nivell de la funció objectiu per als nivells $k = -1, k = 0, k = 1$ i $k = 2$ (paràboles) es mostren a continuació:

Tenint en compte la figura, en quin punt s'assoleix el valor mínim condicionat del problema?

Pregunta 6 (0,5 punts). Existència d'òptim en programació lineal

Donat el següent problema de programació lineal:

$\begin{aligned}

\text{Opt.} \quad & f(x, y) = 24x + 20y \\[4pt]

\text{s. a} \quad & \begin{cases}

2x + 3y \ge 48 \\

4x + 3y \ge 60 \\

x \ge 0 \\

y \ge 0

\end{cases}

\end{aligned}$

Indiqueu quina afirmació és correcta:

Pregunta 7 (0,5 punts). Plantejament de restriccions d'un problema d'empresa

Una empresa necessita contractar mecànics, pintors i electricistes. Per requeriments del mercat, s'estableix que:

Hi ha d'haver més o igual nombre d'electricistes que de mecànics.

El nombre de mecànics no pot superar el doble del de pintors.

Es requereixen com a mínim 15 electricistes.

No es disposa de més de 20 mecànics en total.

Si s'assignen les variables $x$ al nombre de mecànics contractats, $y$ al nombre de pintors i $z$ al d'electricistes, quina de les condicions següents forma part del conjunt de restriccions descrit?

Pregunta 8 (0,5 punts). Programació no lineal en regió no fitada

Es planteja el problema de programació no lineal següent:

$$\begin{aligned} \text{Max.} & \quad f(x, y) = (x - 4)^2 + (y - 4)^2 \\ \text{s. a} & \quad \begin{cases} y \ge 4 - x \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \end{aligned}$$

Podem afirmar que:

Pregunta 9 [0,5 punts]. Càlcul del màxim gràfic sobre un quart de cercle

Considereu un problema d'optimització no lineal la regió factible del qual és el quart de cercle ombrejat en la figura següent:

Suposant que les corbes de nivell de la funció objectiu són rectes paral·leles (funció lineal) i que s'han dibuixat les corresponents a $k = 0$ i $k = 1$, en quin punt s'assoleix el valor màxim?

Pregunta 10 (0,5 punts). Interpretació del preu ombra i sensibilitat

En resoldre un model de programació lineal mitjançant el Solver de full de càlcul, s'obté el següent informe de sensibilitat de les restriccions:

Nom

Valor Final

Preu Ombra

Restricció costat dret

Augment Permissible

Decrement Permissible

1a restricció

120

1

120

40

40

2a restricció

80

2

80

20

20

A partir d'aquestes dades, si únicament es modifica el terme independent de la segona restricció incrementant-lo en 4 unitats, el valor de la funció objectiu a l'òptim:

Pregunta 11 [0,5 punts]. Integral indefinida immediata

Calculeu la integral indefinida:

$$\int \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}} \, dx$$

Pregunta 12 [0,5 punts]. Canvi de variable en una integral indefinida

Donada la integral $\int \frac{e^x + 1}{e^x - 1} \, dx$, si s'aplica el canvi de variable definit per $t = e^x$, la nova integral resultant és:

Pregunta 13 [0,5 punts]. Integral definida amb paràmetre

La integral definida $\int_0^1 (kx^3 - x) \, dx$ és igual a $\frac{3}{2}$:

Pregunta 14 (0,5 punts). Àrea delimitada per una paràbola i l'eix d'abscisses

El valor de l'àrea de la regió del pla acotada entre la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 2x$ i l'eix d'abscisses entre les rectes $x = -1$ i $x = 2$ és:

Pregunta 15 (0,5 punts). Ingressos acumulats a partir de la taxa de variació

La taxa instantània de variació dels ingressos d'un determinat producte en funció del temps $t$ (expressat en anys) ve donada per:

$$I'(t) = 300t - 1500 \quad \text{euros/any}$$

Quants anys han de transcórrer des de la data d'avui ($t = 0$) perquè els ingressos totals acumulats durant aquest període sumin 14400 €?

Pregunta 16 (0,5 punts). Identificació de l'equació diferencial satisfeta per una funció

La funció $y = \sin(x)$ és una solució particular de quina de les següents equacions diferencials?

Pregunta 17 (0,5 punts). Problema de valor inicial de primer ordre

Trobeu la solució particular de l'equació diferencial $xy' = x + 1$ que satisfà la condició que passa pel punt $(x, y) = (1, 0)$:

La solució general de l'equació diferencial lineal $y' - \frac{1}{x}y = 2x^2$ és:

.

Pregunta 19 (0,5 punts). EDO lineal homogènia d'ordre 2 amb coeficients constants

La solució general de l'equació diferencial lineal $y'' - 2y' + y = 0$ és:

.

Pregunta 20 (0,5 punts). Model d'evolució del saldo financer

Si el saldo $S(t)$ en cada instant $t$ d'un cert producte financer satisfà l'equació diferencial:

$$S'(t) = 0{,}02 \cdot S(t)$$

Aleshores, per a una imposició inicial de $S(0) = 10000\text{ €}$, la funció de saldo $S(t)$ és:

.