Examen de Matemàtiques Ii UB 2024 · Avaluació Continuada Bloc 1. (11/04/2024)

Es considera el següent problema d'optimització matemàtica:$$\begin{aligned}\text{Opt.} \quad & f(x, y, z) = 5x^2 - 3y^2 - 10z^2 \\\text{s.a.} \quad & x + z = 1\end{aligned}$$

a.

Formula la funció lagrangiana associada al problema. (0,5 punts)

b.

Obtén el punt crític del problema fent servir les condicions de primer ordre de Lagrange. (1,5 punts)

c.

Aplica la condició de segon ordre per discernir si el punt crític calculat és un màxim o un mínim relatiu condicionat. (2 punts)

Es considera el següent problema d'optimització matemàtica:$$\begin{aligned}\text{Opt.} \quad & f(x, y, z) = 5x^2 - 3y^2 - 10z^2 \\\text{s.a.} \quad & x + z = 1\end{aligned}$$

d.

A partir de la interpretació del multiplicador de Lagrange, avalua raonadament quant canviaria de forma aproximada el valor òptim de la funció si el terme independent de la restricció passés a ser $x + z = 1{,}001$. [1 punt]

Exercici 2 (3 punts). Optimització no lineal gràfica

Es planteja el següent problema d'optimització no lineal:

$\begin{aligned}

\text{Opt.} \quad & f(x, y) = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 \\

\text{s.a.} \quad & 3x + 5y \le 40 \\

& 5x + 2y \le 35 \\

& x, y \ge 0

\end{aligned}$

a.

Dibuixa la regió factible determinada pel conjunt de restriccions. (1 punt)

b.

Dibuixa les corbes de nivell associades a la funció objectiu indicant-ne la geometria. (1 punt)

c.

Identifica gràficament les coordenades dels punts on el problema assoleix el seu màxim i el seu mínim global. (1 punt)

(

,

)

(

,

)

Exercici 3 (2 punts). Anàlisi de sensibilitat

Després de resoldre un model de programació lineal mitjançant l'eina Solver d'Excel, s'obté el següent informe de sensibilitat:

Variables

Nom

Valor Final

Cost Reduït

F. Objectiu coeficient

Permès Augmentar

Permès Reduir

variable x

100

0

10

2

10

variable y

700

0

12

78

2

Variable z

200

0

30

∞

19

Restriccions

Nom

Valor Final

Preu Ombra

Restricció Costat dret

Permès Augmentar

Permès Reduir

1a restricció

1000

1

1000

20

100

2a restricció

180

8,3

180

24

24

3a restricció

100

3,9

100

15,3

100

4a restricció

245

0

250

∞

5

a.

Troba el valor òptim de la funció objectiu. [0,5 punts]

b.

Si el terme independent de la tercera restricció augmenta de 100 a 115, què es pot afirmar sobre el valor de la funció objectiu en el nou òptim? [0,5 punts]

c.

Com es veuria afectada la solució òptima $(x, y, z)$ si la funció objectiu canviés a $f(x, y, z) = 10x + 12y + 33z$ sense modificar cap restricció? [0,5 punts]

d.

Determina de manera justificada quines restriccions se saturen a l'òptim. [0,5 punts]