Examen de Matematiques Iii UPF 2015 · recuperació 2015-16

Pregunta 1 (10 punts). Domini d'una funció de dues variables

Considereu la funció real de dues variables següent:

$$f(x,y) = \frac{\sqrt{9 - (x - 2)^2 - y^2} + \sqrt{(2 - x)(4 - x)}}{x^2 + y^2 - 1}$$

Determineu de manera justificada el seu domini de definició i feu-ne una representació gràfica al pla cartesià.

Pregunta 2 (10 punts). Pla tangent

Sigui la funció $f(x, y) = mxy + \frac{1}{2}x^2 - 2y^2$. Trobeu el valor del paràmetre $m$ sabent que el pla d'equació $10y + z - \frac{5}{2} = 0$ és tangent a la gràfica de $f(x,y)$ en un punt on $z = -\frac{5}{2}$.

$m =$

Pregunta 3 (10 punts). Classificació d'una forma quadràtica

Es considera la forma quadràtica següent:

$$f(x,y) = (k - 1)x^2 + 4xy + (k + 2)y^2$$

a.

Determineu per a quins valors del paràmetre real $k$ la forma quadràtica és definida negativa.

b.

Si s'afegeix la restricció lineal $y = -x$ sobre les variables, per a quins valors de $k$ resulta ser definida negativa?

Sigui la funció $f(x, y) = \frac{1}{4} 2^x y^3$. S'observa fàcilment que $f(3, 2) = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 8 = 16$.

a.

Si es manté la variable $y$ fixa al valor 2, quant ha de variar de forma aproximada la variable $x$ (al voltant de $x = 3$) perquè el valor de la funció augmenti de 16 a 18?

$\mathrm{d}x \approx$

Sigui la funció $f(x, y) = \frac{1}{4} 2^x y^3$. S'observa fàcilment que $f(3, 2) = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 8 = 16$.

b. Suposant ara que $x(t) = t^2$ i $y(t) = t + 2$, proporcioneu una expressió per a $\frac{df}{dt}$ aplicant la regla de la cadena i calculeu el seu valor exacte per a $t = 0$.

Pregunta 5 [15 punts]. Funció homogènia

Es considera la funció:$$f(x, y) = \frac{x}{y^a} - \frac{3x^2}{bx^b + \sqrt{x^3y + xy^3}}$$

a)

Trobeu per a quins valors de $a, b \in \mathbb{R}$ la funció $f(x, y)$ és homogènia, i indiqueu en aquests casos el seu grau d'homogeneïtat.

b)

Calculeu el quocient següent:$$\frac{y\frac{\partial}{\partial y}f(x, y)}{x\frac{\partial}{\partial x}f(x, y)}$$

Pregunta 6 (15 punts). Optimització amb restricció d'igualtat

Es considera la funció objectiu $f(x, y) = 9 - x^2 - y^2$, sotmesa a la restricció d'igualtat $-x^2 + y = -3$.

a.

Trobeu tots els candidats a òptim fent servir el mètode dels multiplicadors de Lagrange.

b.

Classifiqueu cadascun dels punts obtinguts a l'apartat anterior mitjançant el mètode gràfic, assenyalant justificadament si es tracta d'extrems locals o globals.

Pregunta 7 (15 punts). Extrems globals

Es considera la funció $f(x, y) = xy^2$.

a.

Determineu els extrems globals (màxims i mínims) de $f$ en el conjunt compacte:

$$S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0,\, y \ge 0,\, x^2 + y^2 \le 1\}$$

b.

Determineu els extrems globals de $f$ sobre el conjunt no fitat:

$$T = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0,\, y \ge 0\}$$

Pregunta 8 (15 punts). Programació lineal i problema dual

Es considera el problema de programació lineal següent:

$\begin{aligned}

\min \quad & g(u, v, w) = u + 2v + 3w \\

\text{s.a.} \quad & u + w \ge -1 \\

& 1 - w \le v \\

& u, v, w \ge 0

\end{aligned}$

a.

Formuleu el problema dual corresponent i resoleu-lo gràficament fent ús de la graella proporcionada:

b.

Determineu el mínim global del problema primal a partir dels resultats obtinguts.

c.

Indiqueu com es veuria modificat el problema dual i quina seria la seva nova solució si es canviés la restricció $u + w \ge -1$ per $u + w \ge -1{,}01$.