Examen de Matematiques Iii UPF 2015 · final 2015-16

1 (10 p) Posició relativa de recta i pla

Considerem el pla d'equació $Ax + 3y + Cz = D$ (amb $A, C, D \in \mathbb{R}$) i la recta parametritzada per $(x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, -1, 0)$ amb $\lambda \in \mathbb{R}$.

a.

Trobeu quins valors han de prendre els paràmetres $A, C, D$ perquè la recta i el pla resultin perpendiculars.

$A =$ $C =$

b.

Trobeu els valors de $A, C, D$ que fan que la recta i el pla no tinguin cap punt d'intersecció.

$A =$

2 (10 p) Pla tangent a una superfície

Se sap que el pla $2x - 2y + cz + 10 = 0$ (amb $c \neq 0$) és tangent a la gràfica de la funció $f(x, y) = x^2 + y^2 + 4xy$.

a.

Determineu el valor que ha de prendre el paràmetre $c$.

b.

En quin punt de l'espai té lloc aquest contacte de tangència?

$x_0 =$ $y_0 =$ $z_0 =$

3 (15 p) Direcció de màxim creixement i derivada direccional

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = 2x^3 - 3x^2 - 6xy - 3y^2$.

a.

(10 p) Trobeu tots els punts $P$ pertanyents a la corba de nivell de cota -12 on la direcció de màxim creixement vingui donada pel vector $(1, 1)$.

$x =$ $y =$

b.

(5 p) Per a cadascun dels punts obtinguts a l'apartat previ, calculeu el valor màxim de les derivades direccionals en $P$.

La lemniscata de Gerono ve descrita per l'equació implícita $x^4 = a^2(x^2 - y^2)$, on $a \neq 0$ és una constant real.

a.

[10 p] Trobeu els punts de la corba on la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 1$.

b.

[5 p] Trobeu els punts de la corba on la recta tangent resulta paral·lela a la recta $x = 0$.

5 (15 p) Optimització condicionada amb multiplicadors de Lagrange

Considereu la funció $f(x, y) = \frac{1}{x^2 y}$ subjecta a la restricció $x + y = 3$.

a)

(7 p) Calculeu els punts estacionaris del problema mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange.

b)

(3 p) Classifiqueu localment els punts trobats utilitzant el criteri de la matriu hessiana orlada.

c)

(5 p) Argumenteu si els extrems locals determinats són màxims o mínims globals.

6 (5 p) Aproximació marginal amb multiplicador de Lagrange

La funció $f(x,y) = x^2 y^2$ subjecta a $x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y = -1$ té un màxim local al punt $(-1/4, 1/4)$, amb multiplicador associat $\lambda = -1/64$. Quin seria el valor aproximat del màxim local si la restricció passés a ser $x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y - 1 = 0$? Raoneu la resposta indicant el resultat teòric emprat.

7 (15 p) Optimització en un recinte compacte i formes quadràtiques

Donada la funció $f(x, y) = x^2 - xy + y^2$:

a)

Determineu els seus màxims i mínims globals en el triangle tancat amb vèrtexs als punts $(1,0)$, $(-1,-1)$ i $(1,-1)$.

(,)

(,)

7 (15 p) Optimització en un recinte compacte i formes quadràtiques

Donada la funció $f(x, y) = x^2 - xy + y^2$:

b)

(4 p) Determineu si existeixen punts $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ tals que $f(x_0, y_0) < 0$ (sense restringir la funció al triangle).

8 (15 p) Problema de programació lineal i dualitat

L' Aliança rebel necessita renovar-se per lluitar contra el New Ordre. La principal fàbrica de Ahleen construeix principalment naus estel·lars dels tipus X-wing, Y-wing i B-wing, que es venen a l'Aliança per $60$, $50$ i $30$ milions de crèdits, respectivament. La fàbrica disposa de $2000$ tones d'alumini i de $1500$ de tal·li. A la producció d'una X-wing es necessiten $2$ tones d'alumini i $2$ de tal·li. Per a produir una Y-wing, es necessiten $2$ tones d'alumini i $1$ de tal·li. Finalment, per a produir una B-wing es requereixen $2$ tones d'alumini i $6$ de tal·li.

a)

[2 p] Escriviu el problema per maximitzar els ingressos de la principal fàbrica de Ahleen.

b)

[5 p] Escriviu el problema dual de l'anterior i resoleu-lo gràficament. Podeu fer servir la quadrícula proporcionada.

$u^* =$, $v^* =$

c)

[6 p] Useu els resultats anteriors per trobar raonadament quantes naus estel·lars cal produir per obtenir el màxim ingrés a la fàbrica.

Quantitat de X-wing ($x^*$):

Quantitat de Y-wing ($y^*$):

Quantitat de B-wing ($z^*$):

d)

[2 p] Quan un ambaixador de l'Aliança arriba a Ahleen per negociar el lliurament de les naus produïdes, ofereix portar una tona extra d'alumini o de tal·li. Quina de les dues és més convenient pels ingressos de la fàbrica?

Alumini

Tal·li