Examen de Matematiques Iii UPF 2012 · final Març 2012

Problema 1 (5 punts). Perpendicularitat entre recta i pla

Considerant la recta

$$r: \begin{cases} x = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}$$ i el pla d'equació $\pi: kx + 3y - 3z + 5 = 0$, trobeu quin valor ha de prendre el paràmetre $k$ per tal que la recta $r$ resulti perpendicular a $\pi$.

Problema 2 (10 punts). Recta tangent a corba de nivell

Per a la funció de dues variables $F(x, y) = e^{y^2 - x}$, determineu les equacions de les rectes tangents a la corba de nivell 1 de $F$ en aquells punts on l'abscissa val $x = 1$.

a)

b)

Problema 3 (10 punts). Diferencial total i aproximació lineal

Considereu la funció $Q(x, y) = 10 \cdot x^{1/4} y^{3/4}$.

Calculeu la diferencial $dQ$ en el punt genèric $(a, a)$ amb $a > 0$ i feu servir aquest resultat per obtenir un valor aproximat de $Q(16.1, 15.9)$.

a)

b)

Problema 4 (10 punts). Funció homogènia i teorema d'Euler

Sabent que la funció $f(x, y) = \sqrt{x^3} + x^m \sqrt{y^5}$ és homogènia, calculeu el valor de l'exponent $m$, el grau d'homogeneïtat $k$ i determineu el valor que pren l'expressió $\frac{2}{3}(x f'_x + y f'_y)$.

a)

b)

c)

Problema 5 [10 punts]. Gradient i derivades direccionals

Sigui $f(x, y)$ una funció diferenciable a $\mathbb{R}^2$. Considereu els punts $A(1, 3)$, $B(3, 3)$, $C(1, 7)$ i $D(6, 15)$.

Se sap que la derivada direccional de $f$ al punt $A$ segons la direcció del vector $\vec{AB}$ val $3$, i que la derivada direccional de $f$ al mateix punt $A$ en la direcció del vector $\vec{AC}$ val $26$. Trobeu el valor de la derivada direccional de $f$ en el punt $A$ en la direcció del vector $\vec{AD}$.

Problema 6 (20 punts). Optimització lliure i sobre un recinte compacte

Sigui la funció de dues variables $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$.

a.

(2 pts) Calculeu les derivades parcials de primer ordre de la funció $f$ i la matriu Hessiana, $H(x,y)$.

$f'_x(x,y) =$

$f'_y(x,y) =$

b.

(7 pts) Determineu els punts estacionaris de la funció i classifiqueu-los.

Punt $(1, 2)$:

Punt $(1, -2)$:

Punt $(-1, 2)$:

Punt $(-1, -2)$:

c.

(3 pts) Els màxims i mínims que heu trobat a l'apartat anterior, ¿són globals? Raoneu la resposta.

Problema 6 (20 punts). Optimització lliure i sobre un recinte compacte

Sigui la funció de dues variables $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$.

d)

(8 pts) Sigui $S$ el triangle de vèrtexs $(0,0)$, $(2,0)$ i $(2,4)$. Determineu els valors màxim i mínim globals de la funció $f$ en el conjunt $S$.

Considereu la funció definida per $f(x, y) = \frac{1}{x^2 y^2}$.

a)

(2 pts) Calculeu el domini de la funció $f$.

Considereu la funció definida per $f(x, y) = \frac{1}{x^2 y^2}$.

b)

[3 pts] A la figura s'hi representen les corbes de nivell corresponents als valors $z = 1$, $z = 2$, $z = 4$ i $z = 9$. Identifiqueu a quina corba correspon cadascun dels quatre valors de $z$ (des de la més propera a l'origen fins a la més allunyada):

c)

[6 pts] Feu servir el mètode dels multiplicadors de Lagrange per a determinar els candidats a extrem de $f$ subjecta a la restricció $x^2 + y^2 = 1$.

$x =$

, $y =$

d)

[6 pts] Amb l'ajut del gràfic de l'apartat (b), classifiqueu els punts obtinguts a l'apartat anterior.

e)

[3 pts] Si la restricció canvia lleugerament a $x^2 + y^2 = 1.1$, com varien de forma aproximada els valors òptims?

Problema 8 (15 punts). Programació lineal i dualitat

Donat el problema primal de programació lineal:

$\begin{aligned}

\max \quad & x + 2y + z \\

\text{s.a.} \quad & x + 2z \le 1 \\

& y - z \le 2 \\

& x, y, z \ge 0

\end{aligned}$

a)

[7 pts] Plantegeu i resoleu el problema dual. Expliqueu què representen el valor òptim de la funció dual i les variables duals respecte del problema primal.

b)

[3 pts] Fent ús de la solució del dual, quin seria el nou valor màxim de $x + 2y + z$ si les restriccions canviessin a:

$$\begin{cases} x + 2z \le 1.1 \\ y - z \le 1.9 \\ x, y, z \ge 0? \end{cases}$$

c)

[5 pts] Usant la solució del dual, trobeu la solució del problema primal original.