Problema 6 (apartats a, b, c) - Optimització lliu… · Matematiques Iii UPF 2012

a. Calculeu la derivada parcial respecte a x: f'_x(x,y)

Solución: $3x^2 - 3$

a. Calculeu la derivada parcial respecte a y: f'_y(x,y)

Solución: $3y^2 - 12$

a. Element (1,1) de la matriu Hessiana: f''_{xx}

Solución: $6x$

a. Element (1,2) de la matriu Hessiana: f''_{xy}

Solución: $0$

a. Element (2,1) de la matriu Hessiana: f''_{yx}

Solución: $0$

a. Element (2,2) de la matriu Hessiana: f''_{yy}

Solución: $6y$

b. Classificació del punt estacionari (1, 2)

Solución: Mínim local

b. Classificació del punt estacionari (1, -2)

Solución: Punt de sella

b. Classificació del punt estacionari (-1, 2)

Solución: Punt de sella

b. Classificació del punt estacionari (-1, -2)

Solución: Màxim local

c. Els màxims i mínims que heu trobat a l'apartat anterior, ¿són globals?

Solución: No

c. Raoneu la resposta de si són extrems globals a R²

Solución: No són extrems globals perquè la funció no està fitada ni superiorment ni inferiorment a $\mathbb{R}^2$. Per exemple, si prenem la recta $y = 0$, tenim $f(x,0) = x^3 - 3x$. Quan $x \to -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x,0) = -\infty$, assolint valors inferiors al mínim local $f(1,2) = -18$. De la mateixa manera, quan $x \to +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x,0) = +\infty$, superant el màxim local $f(-1,-2) = 18$.