Examen de Matemàtiques Ii UPF 2021 · final 2021-2022

Rectes $r$ i $s$

Es consideren les rectes següents a $\mathbb{R}^3$:

$$r: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ y + 1 = z \end{cases} \qquad \text{i} \qquad s: (x, y, z) = (0, 0, -1) + \lambda(-1, 1, -1)$$

Exercici 1. Geometria de rectes i pla tangent

a.

(5 punts) Calculeu un vector director per a cadascuna de les rectes següents i comproveu si s'intersequen; en cas afirmatiu, determineu el punt on es tallen:

$$r: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ y + 1 = z \end{cases} \quad i \quad s: (x, y, z) = (0, 0, -1) + \lambda(-1, 1, -1)$$

($$, $$, $$)

($$, $$, $$)

Sí

No

($$, $$, $$)

Rectes $r$ i $s$

Es consideren les rectes següents a $\mathbb{R}^3$:

$$r: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ y + 1 = z \end{cases} \qquad \text{i} \qquad s: (x, y, z) = (0, 0, -1) + \lambda(-1, 1, -1)$$

Exercici 1. Geometria de rectes i pla tangent

b.

(10 punts) Per a la funció $f(x, y) = x^2 + \ln(y)$, determineu la totalitat de punts $(x, y, z)$ tals que el pla tangent a la superfície $z = f(x, y)$ sigui paral·lel al pla definit per les rectes $r$ i $s$.

($$, $$, $$)

Exercici 2 (10 punts). Regla de la cadena

Es considera la funció

$$z = e^{-x^2} \sqrt{y}$$

on $x$ i $y$ evolucionen temporalment segons $x(t) = \sqrt{t}$ i $y(t) = t^2$, amb $t \ge 0$.

a.

(6 punts) Trobeu la derivada $\frac{dz}{dt}$ aplicant la regla de la cadena. Expresseu el resultat final exclusivament en funció de $t$ de la manera més simplificada possible. Avalueu també el valor de la derivada en $t = 1$, és a dir, $\frac{dz}{dt}(1)$.

$$\frac{dz}{dt} =$$

$$\frac{dz}{dt}(1) =$$

b.

(4 punts) Substituïu primer $x(t)$ i $y(t)$ a l'expressió de $z$ i deriveu posteriorment respecte de $t$ per verificar que s'obté el mateix resultat.

$$z(t) =$$

$$z'(t) =$$

Exercici 3 (10 punts). Funcions homogènies i gradient

Se sap que el gradient d'una funció homogènia $f(x, y)$ de grau $k$ té la forma següent:

$$\nabla f = \left(2x - 3\frac{y^a}{x^b}, 9\frac{y^b}{x}\right)$$

on $a$ i $b$ són paràmetres reals.

a)

[6 punts] Trobeu el grau d'homogeneïtat $k$ de la funció $f(x, y)$ així com els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

Nota: Si una funció $f(x, y)$ és homogènia de grau $k$, aleshores les seves derivades parcials són funcions homogènies de grau $k - 1$.

b)

[4 punts] Calculeu l'expressió explícita de la funció $f(x, y)$.

Exercici 4 (15 punts). Optimització lliure de dues variables

Considereu la funció $$f(x,y) = -x^2 - y^2 + kxy, \quad \text{amb } k > 0$$

a)

[5 punts] Calculeu els punts estacionaris de $f$ en funció del paràmetre $k > 0$.

b)

[8 punts] Classifiqueu localment aquests punts estacionaris. Determineu a més si els extrems locals trobats són també extrems globals.

c)

[2 punts] Sense necessitat de repetir tots els càlculs, trobeu els òptims locals de la funció $g(x,y) = e^{f(x,y)}$, justificant la resposta.

Exercici 5 (10 punts). Signe d'una forma quadràtica amb restricció

Considerant la funció $f(x,y) = 3x^2 + 4xy - ky^2$, trobeu per a quins valors de $k$ es compleix que $f(x,y) > 0$ per a tots els punts $(x,y) \neq (0,0)$ que satisfan la condició $x + y = 0$.

$k <$

Exercici 6 (10 punts). Concavitat, convexitat i dominis convexos

Considereu la funció $$f(x,y) = -\frac{x^4}{3} + \ln(y) - 2xy$$ Determineu i representeu gràficament, si existeixen, el conjunt convex $S \subset \mathbb{R}^2$ més gran on la funció $f$ sigui còncava, així com el conjunt convex $T \subset \mathbb{R}^2$ més gran on $f$ sigui convexa.

a)

Conjunt convex $T$ on $f$ és convexa (o justifiqueu si no existeix cap conjunt convex):

b)

Conjunts convexos més grans on $f$ és còncava:

c)

Representació gràfica dels dominis:

Exercici 7 (15 punts). Optimització amb restriccions d'igualtat (Lagrange)

Es considera la funció objectiu $f(x,y) = x - 2y$ subjecta a la restricció $y - \sqrt{x} = C$.

a)

[5 punts] Mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange, determineu els seus òptims $(x^*, y^*, \lambda^*, f^*)$ en funció de la constant $C$.

$x^* =$

$y^* =$

$\lambda^* =$

$f^* =$

b)

[3 punts] Classifiqueu els òptims obtinguts com a extrems globals analitzant la funció lagrangiana.

c)

[7 punts] Per a la constant $C = 1$, classifiqueu l'òptim mitjançant anàlisi gràfic (a nivell local i global). Determineu el valor de $f^*$ i calculeu la variació aproximada del valor òptim si la restricció canvia de $y - \sqrt{x} = 1$ a $y - \sqrt{x} = 0.99$.

Per a $C=1$, $f^*(1) =$

Variació aproximada $\Delta f^* \approx$

Exercici 8. Programació lineal i dualitat

El benefici generat per una empresa arran de la fabricació i comercialització d'un producte depèn de les quantitats venudes $x$ i $y$ en dos mercats independents. La maximització d'aquest benefici condueix al següent problema lineal d'optimització condicionada:

$\begin{aligned}

\text{Maximitzar} \quad & 3x + 3y \\

\text{subjecte a} \quad & x + y \le 7, \\

& 2x + y \le 8, \\

& 4x + y \le 12, \\

& x \ge 0, \quad y \ge 0.

\end{aligned}$

a.

[2 punts] Justifiqueu de manera raonada si es pot garantir per endavant que el problema té solució òptima.

b.

[4 punts] Determineu els valors de la demanda $x$ i $y$ que fan màxim el benefici, i calculeu aquest benefici màxim.

c.

[6 punts] Plantegeu el problema dual associat i resoleu-lo raonadament emprant les condicions de folgança complementària.

$u_1^* =$

$u_2^* =$

$u_3^* =$