Exercici 2 · Matemàtiques Ii UPF 2021

Exercici 2 (10 punts). Regla de la cadena

Es considera la funció

$$z = e^{-x^2} \sqrt{y}$$

on $x$ i $y$ evolucionen temporalment segons $x(t) = \sqrt{t}$ i $y(t) = t^2$, amb $t \ge 0$.

a.

(6 punts) Trobeu la derivada $\frac{dz}{dt}$ aplicant la regla de la cadena. Expresseu el resultat final exclusivament en funció de $t$ de la manera més simplificada possible. Avalueu també el valor de la derivada en $t = 1$, és a dir, $\frac{dz}{dt}(1)$.

$$\frac{dz}{dt} =$$

$$\frac{dz}{dt}(1) =$$

b.

(4 punts) Substituïu primer $x(t)$ i $y(t)$ a l'expressió de $z$ i deriveu posteriorment respecte de $t$ per verificar que s'obté el mateix resultat.

$$z(t) =$$

$$z'(t) =$$