Exercici 4 · Matemàtiques Ii UPF 2021

a. Calculeu els punts estacionaris de f en funció del paràmetre k > 0.

Solución: Si $k \neq 2$, l'únic punt estacionari és $(0,0)$. Si $k = 2$, tots els punts de la recta $y = x$ són estacionaris.

b. Classifiqueu localment aquests punts estacionaris. Determineu a més si els extrems locals trobats són també extrems globals.

Solución: Si $k < 2$, $(0,0)$ és màxim local i global. Si $k = 2$, tots els punts $(x,x)$ són màxims locals i globals febles. Si $k > 2$, $(0,0)$ és punt de sella.

c. Sense necessitat de repetir tots els càlculs, trobeu els òptims locals de la funció g(x,y) = e^(f(x,y)), justificant la resposta.

Solución: Els màxims de $g(x,y)$ coincideixen exactament amb els màxims de $f(x,y)$.