Exercici 7 · Matemàtiques Ii UPF 2021

Exercici 7 (15 punts). Optimització amb restriccions d'igualtat (Lagrange)

Es considera la funció objectiu $f(x,y) = x - 2y$ subjecta a la restricció $y - \sqrt{x} = C$.

a)

[5 punts] Mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange, determineu els seus òptims $(x^*, y^*, \lambda^*, f^*)$ en funció de la constant $C$.

$x^* =$

$y^* =$

$\lambda^* =$

$f^* =$

b)

[3 punts] Classifiqueu els òptims obtinguts com a extrems globals analitzant la funció lagrangiana.

c)

[7 punts] Per a la constant $C = 1$, classifiqueu l'òptim mitjançant anàlisi gràfic (a nivell local i global). Determineu el valor de $f^*$ i calculeu la variació aproximada del valor òptim si la restricció canvia de $y - \sqrt{x} = 1$ a $y - \sqrt{x} = 0.99$.

Per a $C=1$, $f^*(1) =$

Variació aproximada $\Delta f^* \approx$