Exercici 8 · Matemàtiques Ii UPF 2021

Tema: Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat · Del examen Examen final 2021-2022 (2021)

Enunciado

Exercici 8. Programació lineal i dualitat

El benefici generat per una empresa arran de la fabricació i comercialització d'un producte depèn de les quantitats venudes xx i yy en dos mercats independents. La maximització d'aquest benefici condueix al següent problema lineal d'optimització condicionada:

$\begin{aligned}

\text{Maximitzar} \quad & 3x + 3y \\

\text{subjecte a} \quad & x + y \le 7, \\

& 2x + y \le 8, \\

& 4x + y \le 12, \\

& x \ge 0, \quad y \ge 0.

\end{aligned}$

a.

[2 punts] Justifiqueu de manera raonada si es pot garantir per endavant que el problema té solució òptima.

b.

[4 punts] Determineu els valors de la demanda xx i yy que fan màxim el benefici, i calculeu aquest benefici màxim.

c.

[6 punts] Plantegeu el problema dual associat i resoleu-lo raonadament emprant les condicions de folgança complementària.

u1∗=u_1^* =

u2∗=u_2^* =

u3∗=u_3^* =

Enunciado: Exercici 8 · Matemàtiques Ii UPF 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Justifiqueu de manera raonada si es pot garantir per endavant que el problema té solució òptima.

Solución: La funció objectiu B(x,y)=3x+3yB(x, y) = 3x + 3y és lineal i contínua a R2\mathbb{R}^2. La regió factible és un conjunt compacte (tancat i fitat) i no buit. Pel Teorema de Weierstrass (TVE), queda garantida l'existència de màxim absolut.

b. Calculeu aquest benefici màxim.

Solución: 21

b. Determineu els valors de la demanda xx i yy que fan màxim el benefici.

Solución: (x∗,y∗)=(x,7−x)(x^*, y^*) = (x, 7 - x), amb 0≤x≤10 \le x \le 1 / Segment entre (0,7)(0,7) i (1,6)(1,6)

c. Valor òptim de la variable dual u1∗u_1^*.

Solución: 3

c. Valor òptim de la variable dual u2∗u_2^*.

Solución: 0

c. Valor òptim de la variable dual u3∗u_3^*.

Solución: 0

c. Plantegeu el problema dual associat i resoleu-lo raonadament emprant les condicions de folgança complementària.

Solución: Minimitzar 7u1+8u2+12u37u_1 + 8u_2 + 12u_3 subjecte a u1+2u2+4u3≥3u_1 + 2u_2 + 4u_3 \ge 3, u1+u2+u3≥3u_1 + u_2 + u_3 \ge 3, u1,u2,u3≥0u_1, u_2, u_3 \ge 0. Solució dual única: (u1∗,u2∗,u3∗)=(3,0,0)(u_1^*, u_2^*, u_3^*) = (3, 0, 0), amb valor mínim 21.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Pregunta 9 · 2018 ›

Más ejercicios de Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat