Exercício 4.3 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2026

4. Uma fábrica de embalagens quer projetar caixas abertas (sem tampa), com a forma de prisma quadrangular regular reto, a partir de uma folha de cartão quadrada com $40\text{ cm}$ de lado.

Para projetar uma dessas caixas, desenham-se quadrados geometricamente iguais, de lado $a$, em cada um dos quatro cantos da folha e, em seguida, após se retirarem esses quadrados, dobram-se as abas laterais da caixa para cima, pelos lados desses quadrados, como se representa na Figura 4, sendo $[ABCD]$ a base da caixa.

Considere a função $V$ definida por

$$V(a) = 4a^3 - 160a^2 + 1600a\text{, com } 0 < a < 20$$

em que $V(a)$ é o volume da caixa, em centímetros cúbicos, para cada valor da altura da caixa, $a$, em centímetros.

Na Figura 5, está representada uma das caixas construídas pela fábrica, por um prisma quadrangular regular reto, $[ABCDEFGH]$, em referencial ortogonal e monométrico $Oxyz$, cuja unidade é o centímetro.

Sabe-se que:

a face $[ABCD]$ está contida no plano $xOy$ e tem centro na origem do referencial;

as arestas $[BC]$ e $[AB]$ são paralelas aos eixos $Ox$ e $Oy$, respetivamente;

o vértice $B$ tem abcissa e ordenada positivas;

a reta $FG$ é definida por $y = 15 \land z = 5$.

Qual dos seguintes ternos ordenados corresponde às coordenadas do vértice $E$?

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