Sujet du Bac Mathématiques 2025 · Centres étrangers (Afrique) Jour 2

Exercice 1 [6 points]

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B. Au $1^{\text{er}}$ janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0{,}93$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

1.

Donner, selon ce modèle, la population au $1^{\text{er}}$ janvier 2026.

2.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = -0{,}05 v_n^2 + 1{,}1 v_n$.

Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

1.

Donner, selon ce modèle, la population au $1^{\text{er}}$ janvier 2026.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $f(x) = -0{,}05x^2 + 1{,}1x$.

2.

Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$.

3.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2 \le v_{n+1} \le v_n \le 6$.

4.

En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.

5. a.

Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.

5. b.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

1.

En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.

2.

À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.

3.

Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

4.

On considère le programme Python ci-contre:

a.

Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.

b.

Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par:$$f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0,2x}}$$

Exercice 2

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:

$$f(x) = \frac{1}{a + \mathrm{e}^{-bx}}$$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous:

On considère les points $A(0; 0{,}5)$ et $B(10; 1)$.

On admet que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

1.

Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.

2.

On admet que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

3.

Justifier que $a = 1$.

4.

Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

5. a.

Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.

5. b.

En déduire la valeur de $b$.

Exercice 2

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par:$$f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0,2x}}$$

1.

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2.

Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

3.

Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0{,}97$.

4.

À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs.

$< \alpha <$

Exercice 2 – Partie C

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par:$$f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0,2x}}$$

1.

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0; +\infty[$, $f(x) = \frac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}$.

2.

En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

3.

Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 40]$, c'est-à-dire: $$I = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}\,\mathrm{d}x$$ On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.

Par exemple, « gP3g » est une telle séquence.

Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

1.

Déterminer le nombre de séquences possibles.

2.

Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.

3.

a.

Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.

b.

En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

c.

Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

d.

Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre.

On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.

2.

Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

3.

Que pensez-vous de l'affirmation suivante: « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences. On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B (loi binomiale de paramètres $n = 250$ et $p = 0{,}01$).

On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.

Exercice 4 (4 points)

On se place dans un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ de l'espace.

On considère les points $A(1; 0; 3)$, $B(-2; 1; 2)$ et $C(0; 3; 2)$.

1. a.

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1. b.

Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}$. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.

1. c.

En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $-x + y + 4z - 11 = 0$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y - z + 2 = 0$.

2. a.

Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.

2. b.

Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.

3.

Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$.

4.

Montrer que le point $M(2; 1; 3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

5.

Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$. Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?