Exercice 3 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

Thème : Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Tiré du sujet Jour 2 (2025)

Énoncé

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre.

On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.

On note XX la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1.

On admet que la variable aléatoire XX suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.

2.

Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à 10−310^{-3} près.

3.

Que pensez-vous de l'affirmation suivante: « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Paramètre n de la loi binomiale

Réponse : 250

1. Paramètre p de la loi binomiale

Réponse : 0,01

2. Expression exacte de P(X = 0)

Réponse : 0,992500{,}99^{250} / (1−0,01)250(1 - 0{,}01)^{250}

2. Valeur approchée à 10^-3 près de P(X = 0)

Réponse : 0,08 / 0,081

3. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Réponse : L'affirmation est vraie / raisonnable : l'espérance est E(X) = 2,5, donc 16 erreurs est une valeur très éloignée de la moyenne, rendant P(X > 16) extrêmement faible.

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