Exercice 2 - Limites et continuité · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

Thème : Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Tiré du sujet Jour 2 (2025)

Énoncé

Exercice 2

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction ff est définie sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ par:f(x)=11+e−0,2xf(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0,2x}}

1.

Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

2.

Étudier les variations de la fonction ff sur l'intervalle [0;+∞[[0; +\infty[.

3.

Montrer qu'il existe un unique réel α\alpha positif tel que f(α)=0,97f(\alpha) = 0{,}97.

4.

À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel α\alpha par deux nombres entiers consécutifs.

<α<< \alpha <

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Déterminer lim_{x->+inf} f(x).

Réponse : 1

2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0; +inf[.

Réponse : La fonction ff est strictement croissante sur [0;+∞[[0; +\infty[.

3. Montrer qu'il existe un unique réel alpha positif tel que f(alpha) = 0,97.

Réponse : Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel α∈[0;+∞[\alpha \in [0; +\infty[ tel que f(α)=0,97f(\alpha) = 0{,}97.

4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel alpha par deux nombres entiers consécutifs (borne inférieure).

Réponse : 17

4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel alpha par deux nombres entiers consécutifs (borne supérieure).

Réponse : 18

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