Exercice 4 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

1. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Réponse : $\vec{AB}\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ et $\vec{AC}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires.

1. b. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.

Réponse : $\vec{AB} \cdot \vec{n} = 0$ et $\vec{AC} \cdot \vec{n} = 0$.

1. c. En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $-x + y + 4z - 11 = 0$.

Réponse : $-x + y + 4z - 11 = 0$

2. a. Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.

Réponse : Les vecteurs normaux $\vec{n}_{\mathcal{P}}(3; -3; 2)$ et $\vec{n}_{\mathcal{P}'}(1; -1; -1)$ ne sont pas colinéaires.

2. b. Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.

Réponse : Non / Les plans ne sont pas perpendiculaires

3. Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$.

Réponse : $\vec{n}_{\mathcal{P}} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n}_{\mathcal{P}'} \cdot \vec{u} = 0$

4. Montrer que le point $M(2; 1; 3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

Réponse : $\begin{cases}x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 3\end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

5. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$. Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?

Réponse : $(d) \subset (ABC)$ ; les trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont concourants selon la droite $(d)$.

5. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$. Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?

Réponse : d est incluse dans (ABC), les trois plans se coupent selon la droite (d)