Exercice 2 - Dérivation · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par:$$f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-0,2x}}$$

Exercice 2

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:

$$f(x) = \frac{1}{a + \mathrm{e}^{-bx}}$$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous:

On considère les points $A(0; 0{,}5)$ et $B(10; 1)$.

On admet que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

1.

Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.

2.

On admet que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

3.

Justifier que $a = 1$.

4.

Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

5. a.

Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.

5. b.

En déduire la valeur de $b$.