Exercice 3 - Combinatoire et dénombrement · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.

Par exemple, « gP3g » est une telle séquence.

Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

1.

Déterminer le nombre de séquences possibles.

2.

Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.

3.

a.

Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.

b.

En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

c.

Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

d.

Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.