Exercice 1 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

Exercice 1 [6 points]

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B. Au $1^{\text{er}}$ janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0{,}93$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

1.

Donner, selon ce modèle, la population au $1^{\text{er}}$ janvier 2026.

2.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = -0{,}05 v_n^2 + 1{,}1 v_n$.

Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

1.

Donner, selon ce modèle, la population au $1^{\text{er}}$ janvier 2026.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $f(x) = -0{,}05x^2 + 1{,}1x$.

2.

Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$.

3.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2 \le v_{n+1} \le v_n \le 6$.

4.

En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.

5. a.

Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.

5. b.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

1.

En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.

2.

À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.

3.

Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

4.

On considère le programme Python ci-contre:

a.

Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.

b.

Déterminer l'année affichée après exécution du programme.