Exercice 2 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0; +\infty[$, $f(x) = \frac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}$.

Réponse : Pour tout $x \ge 0$, en multipliant numérateur et dénominateur par $\text{e}^{0,2x}$ : $$f(x) = \frac{1 \times \text{e}^{0,2x}}{(1 + \text{e}^{-0,2x})\text{e}^{0,2x}} = \frac{\text{e}^{0,2x}}{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{0}} = \frac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}$$

2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

Réponse : $F(x) = 5\ln(1 + \text{e}^{0,2x})$

3. Valeur exacte de la valeur moyenne $I$

Réponse : $\frac{\ln(1 + \text{e}^8) - \ln(2)}{8}$

3. Valeur approchée de $I$ au millième

Réponse : $0{,}913$