Exercice 3 - Sommes de variables aléatoires · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 2)

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences. On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B (loi binomiale de paramètres $n = 250$ et $p = 0{,}01$).

On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.