Sujet du Bac Mathématiques 2025 · Amérique du Nord Jour 2 bis

Exercice 1 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + 2x - 1$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbf{R}$.

On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie A: Étude de la fonction f

1.

Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2.

Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.

3.

Montrer que pour tout réel $x$: $f''(x) = (x - 2)\text{e}^{-x}$.

4.

Étudier la convexité de la fonction $f$. Préciser sur quel intervalle $f$ est concave et sur quel intervalle $f$ est convexe.

5.

Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum. (Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues).

6.

En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7.

Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. Donner un encadrement de $\alpha$, au centième près.

< $\alpha$ <

8.

On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 1$. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $\Delta$.

Exercice 1 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + 2x - 1$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbf{R}$.

On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie B: Calcul d'aire

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_n$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$. On note:

$$I_n = \int_{1}^{n} xe^{-x}\,\mathrm{d}x$$

1.

À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.

2.a.

Justifier que l'aire du domaine $D_n$ est $I_n$.

2.b.

Calculer la limite de l'aire du domaine $D_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 2 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

$(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est un repère de l'espace.

On considère la droite $D$ qui a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$

et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne: $2x - 3y + z - 6 = 0$.

1.

Affirmation: La droite $D'$, qui a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 4 - 6t \\ z = 9 - 8t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$, est parallèle à la droite $D$.

Vraie

Fausse

2.

On admet que les points $A(-2; 3; 1)$, $B(1; 3; -4)$ et $C(6; 3; 9)$ ne sont pas alignés.

Affirmation: La droite $D$ est orthogonale au plan défini par les trois points $A$, $B$ et $C$.

Vraie

Fausse

3.

Affirmation: La droite $D$ est sécante avec la droite $\Delta$ qui a pour représentation paramétrique: $\begin{cases} x = -4 + 2t' \\ y = 1 - 3t' \\ z = 2 + t' \end{cases}$, $t' \in \mathbb{R}$.

Vraie

Fausse

4.

Affirmation: Le point $F(-3; -3; 3)$ est le projeté orthogonal du point $E(-5; 0; 2)$ sur le plan $P$.

Vraie

Fausse

5.

Affirmation: Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P'$ d'équation $-3x + y - a^2 z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite $D$.

Vraie

Fausse

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de 2% de la population d'un pays. Dans ce pays, 90% de la population a été vaccinée contre ce virus. On constate que 62% des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les événements suivants:

$\text{C}$: « la personne a été contaminée »

$\text{V}$: « la personne a été vaccinée ».

Les événements contraires des événements $\text{C}$ et $\text{V}$ sont notés respectivement $\overline{\text{C}}$ et $\overline{\text{V}}$.

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

1.

À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et de la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.

2.

a.

Calculer $P(C \cap V)$.

b.

En déduire $P(\overline{C} \cap V)$.

3.

Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.

4.

Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5.

Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

a.

« Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »

Vraie

Fausse

b.

« Plus de 98% de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

Vraie

Fausse

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de 2% de la population d'un pays. Dans ce pays, 90% de la population a été vaccinée contre ce virus. On constate que 62% des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les événements suivants:

$\text{C}$: « la personne a été contaminée »

$\text{V}$: « la personne a été vaccinée ».

Les événements contraires des événements $\text{C}$ et $\text{V}$ sont notés respectivement $\overline{\text{C}}$ et $\overline{\text{V}}$.

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

On s'intéresse à un échantillon de 20 personnes choisies au hasard dans la population. La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p=0{,}02$.

a.

Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.

b.

Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.

Exercice 4 (5 points)

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:$$\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n \end{cases}$$

Partie A: Conjecture

1.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

$n$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

$u_n$ · 0 · $\frac{1}{2}$ · $\frac{1}{2}$

2.

Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B: Étude d'une suite auxiliaire

Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:$$w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n$$

1.

Calculer $w_0$.

2.

Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

3.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.

4.

Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a:$$u_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2}u_n$$

5.

Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Partie C: Étude de la suite $(u_n)$

1.

Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.

2.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.

3.

On admet que la limite de la suite $(u_n)$ est solution de l'équation: $l = l - \dfrac{1}{4}l$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.