Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2 bis)

Exercice 4 (5 points)

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:$$\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n \end{cases}$$

Partie A: Conjecture

1.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

$n$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

$u_n$ · 0 · $\frac{1}{2}$ · $\frac{1}{2}$

2.

Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B: Étude d'une suite auxiliaire

Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:$$w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n$$

1.

Calculer $w_0$.

2.

Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

3.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.

4.

Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a:$$u_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2}u_n$$

5.

Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Partie C: Étude de la suite $(u_n)$

1.

Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.

2.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.

3.

On admet que la limite de la suite $(u_n)$ est solution de l'équation: $l = l - \dfrac{1}{4}l$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.