Sujet du Bac Mathématiques 2025 · Amérique du Nord Jour 2

Exercice 1 [5 points]

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les PARTIES A et B sont indépendantes.

PARTIE A

L'entraîneur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entraînement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0{,}32$.

Lors d'un entraînement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1.

On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

$n =$

$p =$

2.

Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

$P(N = 4) \approx$

3.

Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

$P(N \le 6) \approx$

4.

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.

$E(N) =$

5.

On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

a.

Exprimer $T$ en fonction de $N$.

$T =$

b.

En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.

$E(T) =$

c.

Calculer $P(12 \le T \le 18)$.

$P(12 \le T \le 18) \approx$

Exercice 1 [5 points]

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les PARTIES A et B sont indépendantes.

PARTIE B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif. On note $X_1, X_2, \dots, X_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \dots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

On pose $$M_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$$

1.

Dans cette question, on prend $n = 50$.

a.

Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?

b.

Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.

c.

Démontrer que $P(|M_{50} - 22| \ge 3) \le \dfrac{13}{90}$.

d.

En déduire que la probabilité de l'événement « $19 < M_{50} < 25$ » est strictement supérieure à 0,85.

2.

Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse:

« Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P(|M_n - 22| \ge 3) < 0{,}01$ ».

Vraie

Fausse

Exercice 2 (5 points)

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au 16 e siècle.

On désigne par $(u_n)$ la suite définie par:

$$u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n}$$

PARTIE A

1. a.

Donner la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.

1. b.

Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \le u_{n+1} \le u_n$.

2. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

2. c.

Résoudre dans l'intervalle $[0; +\infty[$ l'équation $\sqrt{x} = x$.

2. d.

Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_n)$.

PARTIE B

On désigne par $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(u_n)$.

1. a.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.

1. b.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

1. c.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln(2) = 2^n \ln(u_n)$.

2.

On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

Une équation de la droite $\mathrm{T}$ est $y = x - 1$.

Les points $A_0, A_1, A_2$ ont pour abscisses respectives $u_0, u_1$ et $u_2$ et pour ordonnée 0.

On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99; 1,01[$.

a.

Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_k$ appartienne à l'intervalle $]0,99; 1,01[$ et donner une valeur approchée de $u_k$ à $10^{-5}$ près.

b.

En déduire une approximation de $\ln(u_k)$.

c.

Déduire des questions 1.c. et 2.b. de la partie B une approximation de $\ln(2)$.

3.

On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $\ln(a)$.

On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$.

from math import*

def Briggs(a):

n = 0

while a >= 1.01:

a = sqrt(a)

n = n+1

L =............

return L

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête de longueur 1. Les points $I$, $J$, $K$, $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[BF]$, $[AE]$, $[CD]$ et $[DH]$.

Affirmation 1: « $\vec{JH} = 2\vec{BI} + \vec{DM} - \vec{CB}$ »

Affirmation 2: « Le triplet de vecteurs $(\vec{AB}, \vec{AH}, \vec{AG})$ est une base de l'espace. »

Affirmation 3: « $\vec{IB} \cdot \vec{LM} = -\frac{1}{4}$ »

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère:

le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$

les points $A(2\,;\,0\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,-3\,;\,7)$

Affirmation 4: « Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $(AB)$ sont parallèles. »

Affirmation 5: « Le plan $\mathscr{P}'$ parallèle à $\mathscr{P}$ passant par $B$ a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ »

Affirmation 6: « La distance du point $A$ au plan $\mathscr{P}$ est égale à $\frac{\sqrt{14}}{2}$ »

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = -12 + 2k \\ y = 6 \\ z = 3 - 5k \end{cases} \quad, \text{où } k \in \mathbb{R}$$

Affirmation 7: « Les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires. »

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$ par $f(x) = \mathrm{e}^x \sin(x)$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE A

1. a.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\,\pi]$, $f'(x) = \mathrm{e}^x(\sin(x) + \cos(x))$.

1. b.

Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$.

2. a.

Déterminer une équation de la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

2. b.

Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$.

2. c.

En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$, $\mathrm{e}^x\sin(x) \ge x$.

3.

Justifier que le point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$ par $f(x) = \mathrm{e}^x \sin(x)$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE B

On note $I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x\sin(x)\,\mathrm{d}x$ et $J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x$.

1.

En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes: $I = 1 + J$ et $I = \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} - J$.

2.

En déduire que $I = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.

3.

On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$. Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$.

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \frac{\pi}{2}$.