Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2 bis)

Thème : Calcul intégral · Tiré du sujet Jour 2 bis (2025)

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

On considère la fonction ff définie sur R\mathbf{R} par f(x)=xe−x+2x−1f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + 2x - 1.

On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur R\mathbf{R}.

On appelle CfC_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On note f′f' la fonction dérivée de la fonction ff et f′′f'' la fonction dérivée seconde de ff, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction f′f'.

Partie B: Calcul d'aire

Soit nn un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine DnD_n délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, la droite Δ\Delta et les droites d'équations respectives x=1x = 1 et x=nx = n. On note:

In=∫1nxe−x dxI_n = \int_{1}^{n} xe^{-x}\,\mathrm{d}x

1.

À l'aide d'une intégration par parties, exprimer InI_n en fonction de nn.

2.a.

Justifier que l'aire du domaine DnD_n est InI_n.

2.b.

Calculer la limite de l'aire du domaine DnD_n quand nn tend vers +∞+\infty.

Énoncé: Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2 bis)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer In en fonction de n

Réponse : In=2e−1−(n+1)e−nI_n = 2e^{-1} - (n + 1)e^{-n}

1. Détail de l'intégration par parties

Réponse : Choix des fonctions : u′(x)=e−x  ⟹  u(x)=−e−xu'(x) = e^{-x} \implies u(x) = -e^{-x} et v(x)=x  ⟹  v′(x)=1v(x) = x \implies v'(x) = 1, puis application de la formule d'intégration par parties.

2.a. Justifier que l'aire du domaine Dn est In

Réponse : Pour tout x∈[1;n]x \in [1 ; n], Cf\mathcal{C}_f est située au-dessus de Δ\Delta car x≥0x \ge 0. L'aire de DnD_n est donc ∫1n(f(x)−(2x−1)) dx=∫1nxe−x dx=In\int_{1}^{n} (f(x) - (2x - 1))\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{n} xe^{-x}\,\mathrm{d}x = I_n.

2.b. Calculer la limite de l'aire du domaine Dn quand n tend vers +∞

Réponse : 2e−12e^{-1}

2.b. Démonstration du calcul de limite

Réponse : Application de la croissance comparée : lim⁡n→+∞ne−n=0\lim\limits_{n \to +\infty} ne^{-n} = 0 et lim⁡n→+∞e−n=0\lim\limits_{n \to +\infty} e^{-n} = 0, d'où lim⁡n→+∞In=2e−1\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 2e^{-1}.

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