Exercice 1 - Partie A · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2 bis)

1. Déterminer la limite de f en -∞

Réponse : $-\infty$

1. Déterminer la limite de f en +∞

Réponse : $+\infty$

2. Pour tout réel x, calculer f'(x)

Réponse : $f'(x) = (1 - x)e^{-x} + 2$

3. Montrer que pour tout réel x : f''(x) = (x - 2)e^(-x)

Réponse : $f''(x) = (x - 2)e^{-x}$

4. Intervalle sur lequel f est concave

Réponse : $]-\infty ; 2]$

4. Intervalle sur lequel f est convexe

Réponse : $[2 ; +\infty[$

5. Valeur exacte de l'extremum de f'

Réponse : $2 - e^{-2}$

5. Étudier les variations de la fonction f' sur R, puis dresser son tableau de variations

Réponse : $f'$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 2]$ et strictement croissante sur $[2 ; +\infty[$ avec pour minimum $2 - e^{-2}$.

6. Signe de f' sur R

Réponse : Strictement positif (> 0)

6. Justifier que la fonction f est strictement croissante sur R

Réponse : Puisque pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) > 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7. Borne inférieure de l'encadrement de alpha au centième près

Réponse : $0{,}37$

7. Borne supérieure de l'encadrement de alpha au centième près

Réponse : $0{,}38$

7. Justifier qu'il existe un unique réel alpha tel que f(alpha) = 0

Réponse : La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $0 \in ]\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) ; \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)[ = ]-\infty ; +\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $f(\alpha) = 0$.

8. Étudier la position relative de la courbe C_f par rapport à la droite Delta

Réponse : Sur $]-\infty ; 0]$, $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\Delta$. Sur $[0 ; +\infty[$, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$. $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ s'interceptent au point d'abscisse $0$.