Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2 bis)

1. Affirmation : La droite D', qui a pour représentation paramétrique { x = 2 + 2t, y = 4 - 6t, z = 9 - 8t }, t ∈ R, est parallèle à la droite D.

Réponse : Vraie

1. Justification

Réponse : Un vecteur directeur de D est u(-1, 3, 4) et de D' est v(2, -6, -8). On a v = -2u, donc les vecteurs sont colinéaires et les droites sont parallèles.

2. Affirmation : La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et C.

Réponse : Fausse

2. Justification

Réponse : AB(3, 0, -5). Le produit scalaire u·AB = -1×3 + 3×0 + 4×(-5) = -23 ≠ 0. Le vecteur directeur u n'est pas orthogonal à AB, donc D n'est pas orthogonale au plan (ABC).

3. Affirmation : La droite D est sécante avec la droite Δ qui a pour représentation paramétrique : { x = -4 + 2t', y = 1 - 3t', z = 2 + t' }, t' ∈ R.

Réponse : Fausse

3. Justification

Réponse : La résolution du système des deux premières coordonnées donne t' = 6 et t = -5. Dans la 3e équation, 4(-5) - 6 = -26 ≠ 1. Le système n'a pas de solution, les droites ne sont pas sécantes.

4. Affirmation : Le point F(-3; -3; 3) est le projeté orthogonal du point E(-5; 0; 2) sur le plan P.

Réponse : Vraie

4. Justification

Réponse : F appartient à P car 2(-3) - 3(-3) + 3 - 6 = 0. Le vecteur EF a pour coordonnées (2, -3, 1), qui est égal au vecteur normal n(2, -3, 1) du plan P. Donc (EF) est perpendiculaire à P et F est le projeté orthogonal de E sur P.

5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel a telle que le plan P' d'équation -3x + y - a^2 z + 3 = 0 soit parallèle à la droite D.

Réponse : Fausse

5. Justification

Réponse : Si une valeur a convient, (-a)^2 = a^2 donc -a donne exactement la même équation de plan. Donc la valeur de a, si elle existe, n'est pas unique (il y en aurait deux opposées si a ≠ 0, ou aucune). En outre, u·n' = 3 + 3 - 4a^2 = 6 - 4a^2 = 0 donne a^2 = 3/2, soit a = √(3/2) ou a = -√(3/2), il y a donc deux valeurs.