Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

a Der Graph von $f$ besitzt den Tiefpunkt $(0|0)$. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt.

Lösung: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 10$ Nur bei 0 und 10 können Extrempunkte vorliegen. $f''(10) = 0, f'''(10) = \frac{6}{25} \neq 0$ Somit besitzt der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte.

b Ermitteln Sie eine Gleichung von $t$.

Lösung: $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{8}$

b Weisen Sie rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$ ist.

Lösung: $f'(5) = \frac{3}{2}$ und $f(5) = \frac{3}{2} \cdot 5 - \frac{5}{8}$

d Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$, die die y-Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.

Lösung: Skizze zweier Tangenten durch den Punkt $P(0|-5/8)$ an den Graphen von $f$, eine mit negativer Steigung (Berührung links der $y$-Achse) und eine mit positiver Steigung.