Abitur NRW Mathematik 2024 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Bei einer Insektenart verläuft die Entwicklung eines Insekts in vier Stadien: Aus einem Ei entwickelt sich über ein erstes und ein zweites Larvenstadium ein ausgewachsenes Insekt.

Die Zusammensetzung einer Population dieser Insektenart kann durch Vektoren $\vec{v}_n$ der Form $\begin{pmatrix} E \\ L_1 \\ L_2 \\ A \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L_1$ die Anzahl der Larven des ersten Larvenstadiums, $L_2$ die Anzahl der Larven des zweiten Larvenstadiums und $A$ die Anzahl der ausgewachsenen Insekten ist.

Die Entwicklung einer solchen Population von einer Woche $n$ zur nächsten wird modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $$M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 40 \\ 0{,}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}2 & 0 \end{pmatrix}$$ beschrieben.

a)

Unter den Larven des ersten Larvenstadiums gibt es solche, die das zweite Larvenstadium nicht erreichen. Geben Sie deren prozentualen Anteil unter allen Larven des ersten Larvenstadiums an und begründen Sie Ihre Angabe. [2 BE]

Zu Beginn der Beobachtung beträgt die Größe der Population, d. h. die Summe der Anzahlen der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten, $8500$. Zwei Wochen nach Beobachtungsbeginn wird die Zusammensetzung der Population durch $$\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 16000 \\ 24000 \\ 200 \\ 150 \end{pmatrix}$$ dargestellt.

b)

Zeigen Sie, dass man für die Größe der Population vier Wochen nach Beobachtungsbeginn den Wert $6800$ erwarten kann. [2 BE]

c)

Die Größe der Population reduziert sich im Abstand von vier Wochen jeweils um denselben Faktor. Bestimmen Sie einen Term, mit dem die Größe der Population ausgehend vom Beobachtungsbeginn für Zeitpunkte im Abstand von jeweils vier Wochen berechnet werden kann. [3 BE]

d)

Um das Überleben der Population zu sichern, werden Maßnahmen ergriffen, die ausschließlich die Überlebensraten der Larven beeinflussen. Untersuchen Sie, wie groß die Überlebensrate $y$ der Larven des zweiten Larvenstadiums in Abhängigkeit von der Überlebensrate $x$ der Larven des ersten Larvenstadiums sein müsste, damit sich die Größe der Population dauerhaft im Abstand von jeweils vier Wochen wiederholt. Geben Sie für diesen Fall alle möglichen Werte von $y$ an. [5 BE]

2 Die Punkte $P(1|4|3)$ und $Q(-3|1|4)$ sind benachbarte Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks (vgl. Abbildung). Das Sechseck ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs $O$.

a)

Zeigen Sie, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck $OPQ$ den Wert $\frac{1}{2}\sqrt{78}$ hat.

b)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Sechsecks.

c)

Bestimmen Sie die Koordinaten des zweiten zu $Q$ benachbarten Eckpunkts des Sechsecks sowie die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Sechsecks.