Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (CAS) (2024)

Aufgabenstellung

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion f ⁣:t↦25−20e−0,014tf \colon t \mapsto 25 - 20\mathrm{e}^{-0{,}014t} modellhaft beschreiben. Dabei ist tt die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und f(t)f(t) die Wassertemperatur in ∘C^{\circ}\text{C}. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25 ∘C25\,^{\circ}\text{C}.

b)

Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:

(1) f′(30)f'(30)

(2) f(30)−f(0)30−0\frac{f(30)-f(0)}{30-0}

c)

Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

Es gibt eine Konstante cc, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das cc-Fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

b) (1) Wert von f'(30)

Lösung: 0,180{,}18 °C/min

b) (1) Interpretation von f'(30) im Sachzusammenhang

Lösung: Die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur 30 Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt etwa 0,18 °C/min (das Wasser erwärmt sich zu diesem Zeitpunkt mit ca. 0,18 °C pro Minute).

b) (2) Wert des Differenzenquotienten

Lösung: 0,230{,}23 °C/min

b) (2) Interpretation des Differenzenquotienten im Sachzusammenhang

Lösung: Die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 30 Minuten beträgt etwa 0,23 °C/min.

c) Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt: Es gibt eine Konstante c, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das c-Fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist.

Lösung: 25−f(t)f′(t)=20e−0,014t0,28e−0,014t=200,28=5007≈71,43\frac{25 - f(t)}{f'(t)} = \frac{20 e^{-0{,}014 t}}{0{,}28 e^{-0{,}014 t}} = \frac{20}{0{,}28} = \frac{500}{7} \approx 71{,}43

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