Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

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Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer A in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{1}{576} \cdot x^4 - \frac{1}{18} \cdot x^3 + \frac{1}{2} \cdot x^2$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

b)

Ermitteln Sie die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer B ab dem Zeitpunkt $12\text{ Sekunden}$ nach dem Start bewegt.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass der zum Radfahrer B gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle $12$ keinen Knick aufweist.

d)

Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt. Geben Sie die Bedeutung von $d(x)$ für $0 < x < x_s$ im Sachzusammenhang an und interpretieren Sie das Ergebnis $0{,}37$.

$$d(x) = f(x) - h(x)$$$$d'(x) = 0\text{ hat für }0 < x < x_s\text{ nur die Lösung }x_1 \approx 3{,}64$$$$d''(x_1) \approx -0{,}13 < 0$$$$d(x_1) \approx 0{,}37$$