Abitur Niedersachsen Mathematik 2019 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ hat den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ und den Wendepunkt $\left(-\frac{1}{2} \mid \frac{5}{4}\right)$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = 5x^2 \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{3}x^3}$.

a

Bestimmen Sie einen Funktionsterm von $g$.

(zur Kontrolle: $g(x) = \frac{5}{2}x^2 \cdot (2x + 3)$)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ hat den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ und den Wendepunkt $\left(-\frac{1}{2} \mid \frac{5}{4}\right)$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = 5x^2 \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{3}x^3}$.

b)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ für $-1{,}5 \le x \le 0{,}5$ in ein Koordinatensystem ein.

d)

Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \to -\infty$ an und beschreiben Sie, was sich aus diesem Grenzwert im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $h$ folgern lässt.

h)

Es gilt $(h(1) - g(1)) \cdot (h(2) - g(2)) < 0$. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache hinsichtlich der gegenseitigen Lage der Graphen von $g$ und $h$ im Bereich $1 < x < 2$ an. Begründen Sie Ihre Angabe.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ hat den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ und den Wendepunkt $\left(-\frac{1}{2} \mid \frac{5}{4}\right)$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = 5x^2 \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{3}x^3}$.

c)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $g$ in dessen Wendepunkt. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet.

e)

Zeigen Sie, dass $h'(x) = 10x \cdot (1 + x^3) \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{3}x^3}$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion von $h$ ist.

f)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$.

g)

Bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der mittleren Steigung des Graphen von $g$ von der mittleren Steigung des Graphen von $h$ im Bereich $-1 \le x \le 0$.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ hat den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ und den Wendepunkt $\left(-\frac{1}{2} \mid \frac{5}{4}\right)$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = 5x^2 \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{3}x^3}$.

i

Beurteilen Sie mithilfe der Abbildung 1 die folgende Aussage:

Für $-1{,}5 \le x \le 1$ ändert sich beim Graphen jeder Stammfunktion von $h$ genau einmal das Krümmungsverhalten.

j

Entscheiden Sie, welcher der abgebildeten Graphen I, II und III die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $H$ mit $H(x) = \int_0^x h(t)\,\mathrm{d}t$ darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Der Luftdruck wird in Abhängigkeit von der Höhe über dem Meeresspiegel modellhaft mithilfe der Funktion $p$ mit $p(x) = 1000e^{-\frac{x}{8}}$ und $x \in \mathbb{R}_0^+$ beschrieben. Dabei ist $x$ die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern und $p(x)$ der Luftdruck in Hektopascal (hPa). Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $p$.

Laut einer Faustregel sinkt der Luftdruck um 1 hPa, wenn die Höhe um 10 m zunimmt.

a)

Bestimmen Sie grafisch die Höhe, in der der Luftdruck $650\text{ hPa}$ beträgt. Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in der Abbildung 2.

km

b)

Zeigen Sie, dass eine Verringerung des Luftdrucks um die Hälfte auf eine Höhenänderung zurückzuführen ist, die unabhängig von der Ausgangshöhe ist. Geben Sie diese Höhenänderung an.

km

d)

Eine Gruppe von Bergsteigern misst in einer Höhe von $1785\text{ m}$ einen Luftdruck von $800\text{ hPa}$. Bestimmen Sie die Höhe, in der sich die Bergsteiger einige Zeit später befinden, wenn die Faustregel dafür $2785\text{ m}$ liefert.

f)

Geben Sie die Wertemenge des Terms $-8 \cdot \ln\left(\frac{u}{1000}\right)$ für $0 < u \le 1000$ an. Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Terms im Sachzusammenhang.

Der Luftdruck wird in Abhängigkeit von der Höhe über dem Meeresspiegel modellhaft mithilfe der Funktion $p$ mit $p(x) = 1000e^{-\frac{x}{8}}$ und $x \in \mathbb{R}_0^+$ beschrieben. Dabei ist $x$ die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern und $p(x)$ der Luftdruck in Hektopascal (hPa). Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $p$.

Laut einer Faustregel sinkt der Luftdruck um 1 hPa, wenn die Höhe um 10 m zunimmt.

c

Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate des Luftdrucks in einer Höhe von $1{,}785\text{ km}$.

Der Luftdruck wird in Abhängigkeit von der Höhe über dem Meeresspiegel modellhaft mithilfe der Funktion $p$ mit $p(x) = 1000e^{-\frac{x}{8}}$ und $x \in \mathbb{R}_0^+$ beschrieben. Dabei ist $x$ die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern und $p(x)$ der Luftdruck in Hektopascal (hPa). Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $p$.

Laut einer Faustregel sinkt der Luftdruck um 1 hPa, wenn die Höhe um 10 m zunimmt.

e)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, die ausgehend von einem Luftdruck von $800\text{ hPa}$ in einer Höhe von $1785\text{ m}$ für jeden anderen Luftdruck (in hPa) die der Faustregel entsprechende Höhe (in km) liefert.

Aufgabe 1

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $$f_k: x \mapsto 8k \cdot (kx - 1)^2 \cdot (kx + 1)^2$$ festgelegt. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

$G_k$ schließt im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Die Abbildung 2 zeigt dieses Flächenstück (grau markiert) sowie das Rechteck mit den Eckpunkten $(0 \mid f_k(0))$ und $(\frac{1}{k} \mid 0)$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

a)

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, die $G_k$ mit den Koordinatenachsen gemeinsam hat. [3 BE]

c)

Beschreiben Sie, wie der Graph $G_{2k}$ aus $G_k$ hervorgeht. [2 BE]

d)

Begründen Sie, dass $f_k(x) = 8k \cdot \left(k^2 x^2 - 1\right)^2$ gilt, und zeigen Sie, dass $G_k$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. [3 BE]

Aufgabe 1

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $$f_k: x \mapsto 8k \cdot (kx - 1)^2 \cdot (kx + 1)^2$$ festgelegt. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

$G_k$ schließt im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Die Abbildung 2 zeigt dieses Flächenstück (grau markiert) sowie das Rechteck mit den Eckpunkten $(0 \mid f_k(0))$ und $(\frac{1}{k} \mid 0)$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

e)

Für einen Wert von $k$ gibt es einen Punkt $(x_1 \mid f_k(x_1))$ mit $x_1 > 0$, für den die Gleichung $$\frac{f_k(x_1) - 0}{x_1 - 0} = -\frac{1}{f_k'(x_1)}$$

gilt. Beschreiben Sie die geometrische Bedeutung dieser Gleichung. [3 BE]

Aufgabe 1

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $$f_k: x \mapsto 8k \cdot (kx - 1)^2 \cdot (kx + 1)^2$$ festgelegt. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

$G_k$ schließt im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Die Abbildung 2 zeigt dieses Flächenstück (grau markiert) sowie das Rechteck mit den Eckpunkten $(0 \mid f_k(0))$ und $(\frac{1}{k} \mid 0)$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

f

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks.

Bei Rotation des Rechtecks um die x-Achse entsteht ein Körper, ebenso bei Rotation um die y-Achse.

g

Skizzieren Sie einen der beiden Körper und beschriften Sie die Skizze mit den Maßen des Körpers.

h

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $k$, für den die beiden Körper das gleiche Volumen haben.

i

Bei Rotation des grau markierten Flächenstücks um die y-Achse entsteht ein weiterer Körper. Begründen Sie, dass das Volumen dieses Körpers mit zunehmendem Wert von $k$ beliebig klein wird.

Aufgabe 2

Im Folgenden werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f: x \mapsto \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4$ und $g: x \mapsto (x-2)^2 \cdot e^x$ betrachtet.

a

Die Funktion $f$ ist eine Funktion der Schar aus Aufgabe 1. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $k$.

Aufgabe 2

Im Folgenden werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f: x \mapsto \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4$ und $g: x \mapsto (x-2)^2 \cdot e^x$ betrachtet.

b

Zwei Extrempunkte des Graphen von $f$ liegen auf dem Graphen von $g$. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

d

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(p \mid g(p))$ mit $0 < p < 2$. Ermitteln Sie rechnerisch denjenigen Wert von $p$, für den diese Tangente die x-Achse im Punkt $Q(2 \mid 0)$ schneidet.

Aufgabe 2

Im Folgenden werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f: x \mapsto \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4$ und $g: x \mapsto (x-2)^2 \cdot e^x$ betrachtet.

c

Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f$ und $g$ für $0 \leq x \leq 2$. Ordnen Sie jeden der Graphen I und II der passenden Funktion zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

Graph

Zugeordnete Funktion

Graph I

Graph II

Der Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ hat die Form $h(x) = a \cdot \cos(bx) + c$ mit $a, c \in \mathbb{R}$ und $b \in [0; 2]$. Der Graph von $h$ weist im Bereich $-1 \le x \le 3$ genau zwei seiner Extrempunkte auf, den Hochpunkt $(0 \mid 4)$ und den Tiefpunkt $(2 \mid 0)$.

a

Skizzieren Sie den Graphen von $h$ für $-1 \leq x \leq 3$ in einem Koordinatensystem.

b

Geben Sie die Werte von $a$ und $c$ an und ermitteln Sie den Wert von $b$.

Der Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ hat die Form $h(x) = a \cdot \cos(bx) + c$ mit $a, c \in \mathbb{R}$ und $b \in [0; 2]$. Der Graph von $h$ weist im Bereich $-1 \le x \le 3$ genau zwei seiner Extrempunkte auf, den Hochpunkt $(0 \mid 4)$ und den Tiefpunkt $(2 \mid 0)$.

c)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass $\int_{-1}^{1}(h(x)-2)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{3}(2-h(x))\,\mathrm{d}x$ gilt.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{1-x}$ sowie den Graphen $G_{f'}$ der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f'$.

Der Graph von $f$ beschreibt modellhaft die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt eines Lastenaufzugs. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Fahrt vergangene Zeit in Sekunden und $y$ die Geschwindigkeit des Aufzugs in Meter pro Sekunde.

Das für die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt des Aufzugs bisher verwendete Modell wird geändert: Für $0 \le x \le 6$ wird die Fahrt weiterhin durch $G_f$, für $x \ge 6$ jedoch mithilfe der Tangente an $G_f$ im Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

Teilaufgabe 1 a

Beschreiben Sie die Eigenschaft von

•

$G_{f'}$, aus der sich folgern lässt, dass $G_f$ bei $x = 0$ einen Tiefpunkt hat:

•

$G_f$, aus der sich folgern lässt, dass $G_{f'}$ bei $x = 0{,}6$ einen Hochpunkt hat:

Teilaufgabe 1 j

j)

Begründen Sie ohne weitere Rechnung mithilfe des Graphen von $f'$, dass die Tangente an $G_f$ im Punkt $(6 \mid f(6))$ den Graphen von $f$ für $x > 6$ nicht schneidet.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{1-x}$ sowie den Graphen $G_{f'}$ der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f'$.

Der Graph von $f$ beschreibt modellhaft die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt eines Lastenaufzugs. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Fahrt vergangene Zeit in Sekunden und $y$ die Geschwindigkeit des Aufzugs in Meter pro Sekunde.

Das für die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt des Aufzugs bisher verwendete Modell wird geändert: Für $0 \le x \le 6$ wird die Fahrt weiterhin durch $G_f$, für $x \ge 6$ jedoch mithilfe der Tangente an $G_f$ im Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

Teilaufgabe 1 b

b)

Weisen Sie nach, dass $F(x) = -(x^2 + 2x + 2)\cdot e^{1-x}$ ein Term einer Stammfunktion von $f$ ist:

$F_1(x) =$

Teilaufgabe 1 g

g)

Der Wert des Terms $\int_0^{7{,}5} f(x)\,\mathrm{d}x$ kann als Länge der vom Aufzug zurückgelegten Strecke interpretiert werden. Berechnen Sie diese Länge.

Teilaufgabe 1 i

i)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

„Würde der Graph von $f$ die Fahrt eines Aufzugs beschreiben, die länger als 7,5 Sekunden dauert, so wäre die von diesem Aufzug zurückgelegte Strecke – unabhängig von der Dauer seiner Fahrt – kürzer als $5{,}5\,\mathrm{m}$.“

Teilaufgabe 1 l

l)

Der Aufzug legt im geänderten Modell während der gesamten Fahrtzeit von $7{,}5$ Sekunden eine bestimmte Strecke zurück. Beschreiben Sie, wie man denjenigen Zeitpunkt berechnen könnte, bis zu dem der Aufzug diese Strecke im ursprünglichen Modell zurücklegt.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{1-x}$ sowie den Graphen $G_{f'}$ der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f'$.

Der Graph von $f$ beschreibt modellhaft die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt eines Lastenaufzugs. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Fahrt vergangene Zeit in Sekunden und $y$ die Geschwindigkeit des Aufzugs in Meter pro Sekunde.

Das für die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt des Aufzugs bisher verwendete Modell wird geändert: Für $0 \le x \le 6$ wird die Fahrt weiterhin durch $G_f$, für $x \ge 6$ jedoch mithilfe der Tangente an $G_f$ im Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

Teilaufgabe 1 c

c)

Entnehmen Sie der Abbildung die größte Geschwindigkeit des Aufzugs und geben Sie diese an.

Teilaufgabe 1 d

d)

Bestimmen Sie grafisch den Zeitraum, in dem die Geschwindigkeit mindestens $1{,}0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ beträgt.

Von: s

Bis: s

Teilaufgabe 1 h

h)

Beurteilen Sie die Eignung des für die Fahrt des Aufzugs verwendeten Modells im Hinblick auf das Ende der Fahrt.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{1-x}$ sowie den Graphen $G_{f'}$ der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f'$.

Der Graph von $f$ beschreibt modellhaft die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt eines Lastenaufzugs. Dabei ist $x$ die seit Beginn der Fahrt vergangene Zeit in Sekunden und $y$ die Geschwindigkeit des Aufzugs in Meter pro Sekunde.

Das für die 7,5 Sekunden dauernde Fahrt des Aufzugs bisher verwendete Modell wird geändert: Für $0 \le x \le 6$ wird die Fahrt weiterhin durch $G_f$, für $x \ge 6$ jedoch mithilfe der Tangente an $G_f$ im Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

Teilaufgabe 1 e

e)

Berechnen Sie für den Zeitraum von $2{,}0\,\mathrm{s}$ bis $4{,}0\,\mathrm{s}$ nach Beginn der Fahrt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit.

Teilaufgabe 1 f

f)

Geben Sie die Bedeutung der unterschiedlichen Vorzeichen von $f'(x)$ im Sachzusammenhang an.

Teilaufgabe 1 k

k)

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Aufzug im geänderten Modell nach $7{,}5$ Sekunden tatsächlich zum Stehen kommt.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h \colon x \mapsto 1 + 2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \mathrm{e}^{2-x}$.

a

Begründen Sie, dass $h$ keine Nullstelle besitzt. [2 BE]

b

Es gilt $h(x) = 1 + 2 \cdot f(x - 1)$. Beschreiben Sie, wie der Graph von $h$ schrittweise aus dem in der Abbildung gezeigten Graphen von $f$ erzeugt werden kann. Begründen Sie, dass dabei die Reihenfolge der Schritte nicht beliebig ist. [5 BE]

c

In der Abbildung stellt eine der beiden Kurven die Funktion $f$ dar. Zeichnen Sie in die Abbildung ein Koordinatensystem ein, in dem diese Kurve die Funktion $h$ darstellt. [3 BE]

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h \colon x \mapsto 1 + 2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \mathrm{e}^{2-x}$.

d

Geben Sie einen Term einer Stammfunktion von $h$ an. [3 BE]