Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Aufgabe 1

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $$f_k: x \mapsto 8k \cdot (kx - 1)^2 \cdot (kx + 1)^2$$ festgelegt. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

$G_k$ schließt im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Die Abbildung 2 zeigt dieses Flächenstück (grau markiert) sowie das Rechteck mit den Eckpunkten $(0 \mid f_k(0))$ und $(\frac{1}{k} \mid 0)$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

a)

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, die $G_k$ mit den Koordinatenachsen gemeinsam hat. [3 BE]

c)

Beschreiben Sie, wie der Graph $G_{2k}$ aus $G_k$ hervorgeht. [2 BE]

d)

Begründen Sie, dass $f_k(x) = 8k \cdot \left(k^2 x^2 - 1\right)^2$ gilt, und zeigen Sie, dass $G_k$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. [3 BE]