Aufgabe WTR 3 · Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

a) Begründen Sie, dass h keine Nullstelle besitzt.

Lösung: Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $(x-1)^2 \geq 0$ und $e^{2-x} > 0$, d. h. $h(x) \geq 1$.

b) Es gilt h(x) = 1 + 2 · f(x - 1). Beschreiben Sie, wie der Graph von h schrittweise aus dem in der Abbildung gezeigten Graphen von f erzeugt werden kann. Begründen Sie, dass dabei die Reihenfolge der Schritte nicht beliebig ist.

Lösung: Der Graph von $h$ geht aus dem Graphen von $f$ hervor durch: - Verschiebung um 1 in positive x-Richtung - Streckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung - Verschiebung um 1 in positive y-Richtung Der Graph von $f$ enthält den Punkt $(0|0)$. Würde man den zweiten und dritten Schritt vertauschen, so enthielte der so erzeugte Graph den Punkt $(1|2)$. Dieser liegt wegen $h(1) \neq 2$ nicht auf dem Graphen von $h$.

c) In der Abbildung stellt eine der beiden Kurven die Funktion f dar. Zeichnen Sie in die Abbildung ein Koordinatensystem ein, in dem diese Kurve die Funktion h darstellt.

Lösung: Das neue Koordinatensystem hat seinen Ursprung so verschoben, dass der frühere Tiefpunkt $(0|0)$ nun bei $(1|1)$ liegt: Die neue y-Achse verläuft bei $x = -1$ des alten Systems, die neue x-Achse verläuft bei $y = -1$ des alten Systems (unter Berücksichtigung der Skalierung in y-Richtung).