Aufgabe WTR 1 · Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ hat den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ und den Wendepunkt $\left(-\frac{1}{2} \mid \frac{5}{4}\right)$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = 5x^2 \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{3}x^3}$.

c)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $g$ in dessen Wendepunkt. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet.

e)

Zeigen Sie, dass $h'(x) = 10x \cdot (1 + x^3) \cdot \mathrm{e}^{\frac{2}{3}x^3}$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion von $h$ ist.

f)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$.

g)

Bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der mittleren Steigung des Graphen von $g$ von der mittleren Steigung des Graphen von $h$ im Bereich $-1 \le x \le 0$.