Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2023 · Setembre Serie 2

L'empresa d'esports aquàtics DiverAqua ofereix tres tipus d'activitats: esquí aquàtic, caiac i moto aquàtica. El preu per sessió i client de cadascuna d'aquestes activitats és de 40 € per l'esquí aquàtic, 20 € pel caiac i 60 € per la moto aquàtica. Sabem que avui DiverAqua ha venut 45 sessions en total. També sabem que el nombre de clients que han escollit esquí aquàtic és el triple dels que han escollit una sessió de caiac. La recaptació total del dia ha estat de 1.700 €.

a)

Plantegeu un sistema d'equacions lineals que reculli tota aquesta informació. [1 punt]

b)

Quantes persones han dut a terme cadascuna de les tres activitats? [1,5 punts]

Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d'èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de 35.000 €. Fabricar un cert nombre de cotxes li suposa unes despeses de $C(x) = x^2 + 34.880x + 1.100$ euros, en què $x$ representa el nombre de vehicles fabricats.

a)

Entre quins valors ha de mantenir la producció per tal de no tenir pèrdues? [1,25 punts]

b)

Quants vehicles ha de fabricar per tal d'obtenir el màxim benefici? Quin valor pren aquest benefici màxim? [1,25 punts]

3. Una cooperativa de pagesos ven taronges i mandarines en dos tipus de caixes. La caixa A conté $8\text{ kg}$ de taronges i $2\text{ kg}$ de mandarines, i la caixa B conté $5\text{ kg}$ de taronges i $5\text{ kg}$ de mandarines. Enguany la producció de taronges ha estat de $24.000\text{ kg}$ i la de mandarines, de $12.000\text{ kg}$. El preu de venda de les taronges és de $0,60\text{ €/kg}$ i el de les mandarines, de $0,70\text{ €/kg}$.

Els pagesos de la cooperativa volen saber quantes caixes de cada tipus han de vendre per a maximitzar els ingressos.

a)

Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

Denotem per $x$ el nombre de caixes de tipus A i per $y$ el nombre de caixes de tipus B.

b)

Determineu quantes caixes de cada tipus cal vendre per a obtenir el màxim d'ingressos i quins serien aquests ingressos. [1,25 punts]

El nombre de noves persones infectades per una malaltia, en milers, és donat per la funció següent:

$$f(t) = \frac{30t}{t^2 - 2t + 4}, \quad t \ge 0$$

en què $t$ representa el temps transcorregut, en setmanes, des que es va iniciar la infecció.

a)

Quants malalts s'infectaran a la setmana 1 i quants a la setmana 2? Podem pensar que, a llarg termini, aquesta infecció desapareixerà? [1 punt]

b)

En quin instant es produeix el nombre màxim d'infectats per aquesta malaltia? Quin és aquest nombre? [1,5 punts]

Considereu la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, en què $a$ és un paràmetre real.

a)

Si anomenem $I$ la matriu identitat d'ordre 2, trobeu el valor de $a$ per al qual $A^2 = I$. [1 punt]

$a =$

b)

Per a $a = -1$, calculeu $A^2$, $A^3$ i $A^4$. Feu servir els càlculs anteriors per a deduir el valor de $A^{-1}$ i de $A^{23}$. [1,5 punts]

Una botiga ven un tipus determinat d'ampolla d'aigua a 70 cèntims. Aquesta setmana fa una oferta de $4 \times 3$, és a dir, que si comprem quatre ampolles d'aigua només en paguem tres. La botiga també ha anunciat que la propera setmana l'oferta de $4 \times 3$ ja no serà vigent, però, en canvi, aplicarà un $20\,\%$ de descompte sobre el total de la compra que facin els clients.

a)

Calculeu el preu que haurem de pagar per 4 ampolles d'aigua tant aquesta setmana com la propera. En lloc d'un $20\,\%$, quin descompte caldria aplicar per a igualar l'oferta de $4 \times 3$? [1,5 punts]

€

€

%

b)

Calculeu, en general, quin descompte caldria aplicar per a igualar una oferta de $m \times (m - 1)$; és a dir, que consisteix a vendre $m$ ampolles d'aigua pel preu de $m - 1$ ampolles, en què $m$ és un enter més gran que 1. [1 punt]

%