Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2023 · Juny Serie 1

1. El preu d'un vol entre Barcelona i Islàndia és de $500\text{ €}$. Una companyia aèria té capacitat per a $300$ passatgers diaris, però hi ha una determinada època de l'any en què només ven $180$ bitllets. Després de fer un estudi de mercat, la companyia s'adona que la relació entre el preu del bitllet i el nombre de passatgers és lineal, de manera que per cada $5\text{ €}$ de descompte en el preu del bitllet aconsegueix dos passatgers més.

a)

Si anomenem $x$ el nombre de vegades que s'aplica el descompte, escriviu la funció que dona els ingressos diaris de la companyia per la venda de bitllets en funció de $x$. [1 punt]

b)

A quin preu cal vendre cada bitllet per a obtenir el màxim d'ingressos? Quins ingressos s'obtindran amb aquest preu? [1,5 punts]

2. Un centre cívic ofereix cursos de francès de nivell principiant, intermedi i avançat. Els alumnes inscrits, si ho desitgen, tenen garantida una plaça per al curs següent. És per això que, abans d'acabar el curs, es fan les reserves de plaça per al curs vinent. De l'alumnat de nivell principiant, un $15\,\%$ vol repetir el mateix curs, un $50\,\%$ vol fer el curs intermedi i un $5\,\%$ vol passar directament al curs de nivell avançat. Pel que fa a l'alumnat de nivell intermedi, un $10\,\%$ vol repetir el curs i un $60\,\%$ vol fer el curs de nivell avançat. Finalment, de l'alumnat de nivell avançat, un $20\,\%$ vol repetir el curs. Cap alumne no demana reserva de plaça per a un curs de nivell inferior i la resta d'alumnes no volen continuar al centre el curs vinent. Aquest any hi ha hagut 100 alumnes matriculats de nivell principiant, 90 de nivell intermedi i 60 de nivell avançat.

a)

Calculeu el nombre de places que cal reservar de cada nivell per al curs següent mitjançant un producte de matrius. [1,25 punts]

b)

El mateix centre cívic ofereix dos horaris de ioga, un de matí i un de tarda. Per al proper curs, el $50\,\%$ dels alumnes que actualment fan ioga al matí volen continuar amb el mateix horari, mentre que un $30\,\%$ volen passar a l'horari de tarda. La resta d'alumnes de matí no continuaran. Pel que fa als alumnes que actualment fan ioga a la tarda, un $40\,\%$ volen passar a l'horari de matí i un $60\,\%$ volen continuar fent l'horari de tarda. Si sabem que per al curs següent cal reservar 49 places per a l'horari de matí i 51 places per a l'horari de tarda, quants alumnes hi ha matriculats actualment en cada horari? [1,25 punts]

En Robert ha fet tres proves d'una assignatura. Fent la mitjana aritmètica de les notes obtingudes en cadascuna de les tres proves li ha quedat una nota global de 6. En Robert sap que la nota de la tercera prova ha estat igual que la mitjana aritmètica de les notes de les altres dues proves.

a)

Amb aquesta informació, pot saber alguna de les tres notes? En cas afirmatiu, de quina prova i quina seria la nota obtinguda? [1,25 punts]

b)

La professora li diu que ha estat molt irregular i que si només es tinguessin en compte les notes de les dues darreres proves hauria obtingut una mitjana de 7. Quina nota ha obtingut en cada prova? [1,25 punts]

4. Una empresa de Menorca vol oferir dos tipus d'activitats: bateigs de submarinisme des d'una barca i excursions en barca per la costa per a banyar-se en cales. El bateig de submarinisme té un preu de 60 euros per persona i a cada embarcació hi aniran 10 participants i 5 instructors. L'excursió per la costa té un preu de 18 euros per persona i a cada embarcació hi aniran 25 participants i 2 instructors. L'empresa disposa de 30 embarcacions iguals i de 75 instructors que poden fer sortides de submarinisme o excursions en barca per les cales indistintament. La seva intenció és obtenir el màxim d'ingressos suposant que omplirà totes les embarcacions.

a)

Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

Considereu $x$ el nombre d'embarcacions de bateigs de submarinisme i $y$ el nombre d'embarcacions d'excursions per la costa.

b)

Quantes sortides de cada tipus ha d'oferir l'empresa cada dia per a obtenir el màxim d'ingressos? Quants diners ingressarà diàriament? [1,25 punts]

€

El nombre de kilograms de menjar que han gastat en un alberg d'animals durant una setmana concreta es pot calcular mitjançant la funció $f(t)=10\left(-\dfrac{t^3}{8}+\dfrac{3t^2}{2}-\dfrac{9t}{2}+10\right)$, en què $t$ és el temps en dies i va des del dia $t = 1$ (dilluns) fins al dia $t = 8$ (dilluns de la setmana següent).

a)

Calculeu quants kilograms de menjar es van gastar el primer dilluns i el dilluns següent. Trobeu quin dia d'aquella setmana es van gastar 100 kg de menjar. [1 punt]

b)

Determineu els dies de la setmana en què la despesa en menjar va ser més gran i els dies en què va ser més petita. Quants kilograms de menjar es van gastar aquests dies? [1,5 punts]

Quan es dissenyen els esglaons d'una escala hi ha diversos paràmetres que cal tenir en compte, dos dels quals són la petja (la part horitzontal de l'esglaó, on es posa el peu) i la contrapetja (la part vertical del graó, és a dir, l'alçària).

L'arquitecte francès François Blondel va establir a finals del segle XVII que la relació ideal entre aquestes dues magnituds era que la suma de dues contrapetges més una petja fos igual a 64 cm.

Anomenem $y$ la longitud de la contrapetja i $x$ la longitud de la petja.

a)

Trobeu la funció que permet calcular la longitud ideal de la contrapetja en funció de la longitud de la petja. Quina seria la longitud ideal de la contrapetja si la petja és de 28 cm? [1 punt]

$y =$

cm

b)

La normativa actual estableix que en el disseny d'escales d'ós póblic cal que la petja sigui com a mínim de 28 cm i que la contrapetja estigui compresa entre 13 i 18,5 cm. A més a més, la suma de dues contrapetges més una petja ha d'estar entre 54 i 70 cm. Escriviu aquestes tres condicions en funció de $x$ i de $y$. Si volem construir una escala amb esglaons de 40 cm de petja, calculeu entre quins valors ha d'estar compresa la contrapetja per a complir amb la normativa actual. [1,5 punts]

Condicions de la normativa en funció de $x$ i $y$:

Valors permesos per a la contrapetja si $x = 40\text{ cm}$:

Entre i cm