Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2023 · Juny Serie 5

En els últims mesos, la demanda de gel hidroalcohòlic ha baixat molt respecte als primers moments de la pandèmia. La funció $f(x)=\dfrac{12+8x}{4x+1}$, en què $x \in [0, +\infty)$ indica el nombre de mesos transcorreguts des de l'inici de la pandèmia, dona les vendes mensuals, en milions de litres, de gel hidroalcohòlic.

a)

Determineu si la funció $f(x)$ és contínua en tot el seu domini. Calculeu la taxa de variació mitjana a l'interval $[0, 1]$. A quin valor tendiran les vendes mensuals de gel al llarg del temps? [1,25 punts]

b)

Comproveu que la funció és decreixent en tot el domini i trobeu la recta tangent en el punt $x = 1$. [1,25 punts]

Una gran pastisseria especialitzada en coques de Sant Joan elabora la massa de les coques amb farina i sucre. A la pastisseria disposen de $60\text{ kg}$ de farina i $30\text{ kg}$ de sucre per a les coques d'enguany i en volen fer de dos tipus: sense farcir i farcides de crema.

Per a elaborar la massa d'una coca sense farcir es necessiten $500\text{ g}$ de farina i $300\text{ g}$ de sucre. Aquest tipus de coca la posen a la venda a $15\text{ €}$. En canvi, per a elaborar la massa d'una coca farcida de crema es necessiten $400\text{ g}$ de farina i $120\text{ g}$ de sucre. I aquesta altra coca es ven a $25\text{ €}$.

La pastisseria ja ha tancat el període de comandes anticipades i, un cop comptabilitzades, se sap que com a mínim haurà d'elaborar $60$ coques sense farcir i $30$ coques farcides de crema. La pastissera en cap vol saber quantes coques de cada tipus hauria d'elaborar i vendre per a obtenir el màxim d'ingressos.

a)

Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

b)

Determineu quantes coques de cada tipus cal elaborar per a obtenir el màxim d'ingressos i quins seran aquests ingressos. Sobrarà alguna quantitat dels ingredients utilitzats per a elaborar la massa? En cas afirmatiu, de quin ingredient i de quina quantitat es tracta? [1,25 punts]

3. Una empresa distribueix dos tipus de paquets a les farmàcies (A i B). El paquet de tipus A conté els productes següents: 5 termòmetres digitals per infrarojos, 30 mascaretes i 10 tests ràpids d'antígens. El paquet de tipus B conté 1 termòmetre digital per infrarojos, 15 mascaretes i 20 tests ràpids d'antígens.

El preu del paquet de tipus A és de 550 € i el del paquet de tipus B és de 200 €. El preu de cada producte és el mateix en els dos tipus de paquets.

a)

Amb les dades de l'enunciat, és possible trobar el preu d'un termòmetre, el d'una mascareta i el d'un test d'antígens? Justifiqueu la resposta plantejant i classificant un sistema d'equacions. Resoleu el sistema deixant la solució en funció del preu del test d'antígens. [1,75 punts]

No

Sí

$x =$

$y =$

b)

Si un test d'antígens costa 4 €, quin serà el preu d'una mascareta? I el d'un termòmetre? [0,75 punts]

€

€

4. El cost anual de la neteja de les instal·lacions d'una empresa que va obrir fa 20 anys, expressat en centenars d'euros, és donat per la funció

$$C(t) = \begin{cases} \dfrac{t^2}{10} + 10, & \text{si } t \in [0, 10] \\[2ex] 28 - \dfrac{(t-14)^2}{2}, & \text{si } t \in (10, 20] \end{cases}$$

en què $t$ és el temps expressat en anys.

a)

Quin va ser el cost de la neteja de l'empresa en el moment d'obrir? I al cap de 10 anys de funcionament? Comproveu que en aquest punt la funció és contínua. Quin és el cost de la neteja de l'empresa al cap de 20 anys de funcionament? [1,25 punts]

b)

Representeu gràficament la funció $C(t)$. En quin moment el cost de la neteja de l'empresa va ser màxim? [1,25 punts]

5. Considereu les matrius $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, en què $a$ i $b$ són dos paràmetres reals.

a)

Trobeu els valors dels paràmetres $a$ i $b$ per als quals es compleix que $A^2 - 2A = B$. [1,25 punts]

$a_1 =$, $b_1 =$

$a_2 =$, $b_2 =$

b)

Si $a = 1$ i $b = 1$, resoleu l'equació matricial $2A = A \cdot X + B$. [1,25 punts]

Una jove emprenedora vol crear una empresa de baldufes, que té pensat d'imprimir amb una impressora 3D a partir d'un disseny matemàtic fet amb el programa GeoGebra. Per a fer-ho, fa girar el perfil de la funció $f(x) = -x^3 + 2x^2$ al voltant de l'eix de les abscisses entre els dos punts de tall amb aquest eix, i així obté una baldufa tombada. Les unitats estan expressades en centímetres.

a)

Quina serà l'alçària de la baldufa? Observeu que per a obtenir-la heu de calcular la distància entre els dos punts de tall amb l'eix de les abscisses. [1 punt]

b)

Quina serà l'amplària de la baldufa? Observeu que l'amplària correspon al doble del valor que pren la funció en el màxim que hi ha entre els dos punts de tall amb l'eix de les abscisses. [1,5 punts]