Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2026 · Setembre Serie 2

Una empresa comercialitza un accessori tecnològic. Segons diversos estudis de mercat, la relació entre el preu de venda $p$ (en euros) i la quantitat demanada setmanal $d(p)$ (en unitats) és donada per la funció $d(p) = 500 - 10p - p^2$, $0 < p < 15$.

Es defineix també l'ingrés setmanal de l'empresa com a $I(p) = p \cdot d(p)$.

1.1.

Determineu el preu $p$ que maximitza l'ingrés setmanal $I(p)$. Per a aquest preu, calculeu la quantitat demanada setmanal corresponent i el valor de l'ingrés màxim.

[1,5 punts]

1.2.

El concepte de l'elasticitat de la demanda respecte al preu mesura la sensibilitat de la quantitat demanada davant dels canvis relatius en el preu. Per a funcions derivables, l'elasticitat de la demanda respecte al preu és donada per l'expressió:

$$E(p) = \frac{p}{d(p)} d'(p)$$

on $d'(p)$ denota la derivada de la funció $d(p)$.

Calculeu l'expressió de l'elasticitat de la demanda respecte al preu $E(p)$ i determineu-ne el valor per a un preu de $5\text{ €}$ i per a un preu de $10\text{ €}$.

[1 punt]

A l'Institut La Closa s'ha organitzat un viatge a Roma per a l'alumnat de segon de batxillerat, però no tots els alumnes hi han volgut anar. Alguns alumnes han organitzat, pel seu compte, un viatge alternatiu a Londres, mentre que d'altres han decidit no viatjar enlloc. Sabem que a segon de batxillerat hi ha un total de 84 alumnes i que el nombre d'alumnes que no han marxat enlloc és el triple del nombre d'alumnes que han anat a Londres.

2.1.

Plantegeu i estudieu el sistema d'equacions corresponent. Es pot determinar el nombre d'alumnes que han anat a cada viatge i el nombre d'alumnes que no han marxat enlloc? Justifiqueu la resposta. [0,75 punts]

2.2.

Resoleu el sistema anterior en funció del nombre d'alumnes que han anat a Londres ($y$). Deduïu que el nombre d'alumnes que no han marxat enlloc és un múltiple de 3 i que el nombre d'alumnes que han anat a Roma és un múltiple de 4. [0,75 punts]

$z =$

$x =$

2.3.

Disposem ara d'una nova informació: si 4 alumnes dels que no han marxat enlloc s'haguessin afegit al viatge a Roma, aleshores el nombre d'alumnes que hauria anat a Roma hauria estat el doble del nombre d'alumnes que han anat a Londres i dels que no haurien marxat enlloc conjuntament. Es pot determinar ara quants alumnes han anat a cada viatge i quants no han marxat enlloc? Justifiqueu la resposta i, si és possible, trobeu aquestes quantitats. [1 punt]

Exercici 3 [2,5 punts en total]

En una assignatura d'un màster de dos anys, el 70 % dels estudiants són de primer curs i la resta són de segon curs. Segons dades de cursos anteriors, la probabilitat d'aprovar l'assignatura és del 60 % per als estudiants de primer curs i del 85 % per als de segon curs.

FÓRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI:

$Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1,96 \le Z \le 1,96) = 0,95$ i $P(-2,58 \le Z \le 2,58) = 0,99$

Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$:

— per a la proporció (mostres grans):

$$\left[ \hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]$$

— per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda):

$$\left[ \bar{x} - z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$$

— per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda):

$$\left[ \bar{x} - z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$

3.1.

Si escollim un estudiant a l'atzar, quina és la probabilitat que aprovi l'assignatura? Si sabem que un estudiant ha aprovat l'assignatura, quina és la probabilitat que sigui de primer curs? [1,25 punts]

3.2.

El professor vol estimar la nova proporció d'estudiants que aproven l'assignatura després d'introduir un nou mètode d'ensenyament. Per fer-ho, selecciona una mostra aleatòria de $n = 80$ estudiants i observa que 55 d'ells han aprovat.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció $p$ d'aprovats amb el nou mètode. L'interval obtingut permet afirmar que el nou mètode ha millorat la taxa d'aprovats respecte de la situació anterior? Raoneu la resposta. [1,25 punts]

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques. En aquesta associació organitzen tallers per a famílies, visiten escoles i instituts d’arreu del país, i imparteixen seminaris en línia.

El curs passat van dur a terme un total de 240 activitats, repartides en 96 tallers familiars, 84 xerrades en escoles o instituts i 60 seminaris en línia. Els dos primers tipus d’activitats són presencials, mentre que els seminaris en línia, evidentment, no ho són.

OPCIÓ A

4.1.

Aquest curs, durant una setmana concreta, el formulari d’inscripció del web de l’associació rep 15 inscripcions independents, cadascuna de les quals correspon a un dels tres tipus d’activitats.

Suposant que la distribució de les inscripcions es manté com el curs passat, calculeu la probabilitat que exactament 10 de les 15 inscripcions siguin per a activitats presencials.

Determineu el nombre esperat d’inscripcions a activitats presencials d’aquella setmana.

4.2.

El curs passat, per a dur a terme les 240 activitats, els tres amics van decidir organitzar-se de manera que cada activitat fos duta a terme per una sola persona; és a dir, no hi havia activitats desenvolupades per més d’un d’ells. Si sabem que la Carme va participar en 30 activitats més que el Martí i que el Saïd va participar en 18 activitats més que el Martí, de quantes activitats es va encarregar cadascun dels tres amics?

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques. En aquesta associació organitzen tallers per a famílies, visiten escoles i instituts d’arreu del país, i imparteixen seminaris en línia.

El curs passat van dur a terme un total de 240 activitats, repartides en 96 tallers familiars, 84 xerrades en escoles o instituts i 60 seminaris en línia. Els dos primers tipus d’activitats són presencials, mentre que els seminaris en línia, evidentment, no ho són.

OPCIÓ B

4.1.

Per estudiar l'efecte d'una campanya de promoció dels tallers familiars d'aquest curs, els tres amics modelitzen el nombre de famílies inscrites mitjançant la funció $f(t) = \frac{100t}{t^2 + 4}$, en què $t$ representa el nombre de dies des de l'inici de la campanya i $f(t)$ correspon al nombre de famílies inscrites aquell dia.

4.2.

Els tres amics també volen analitzar com es reparteixen entre ells la feina de preparació de les activitats. Per fer-ho, revisen com s'han organitzat durant una setmana concreta. En total, en aquest període han dedicat 24 hores a la preparació de tallers familiars, 21 hores a la preparació de xerrades en centres educatius i 15 hores a la preparació de seminaris en línia.

La distribució de la feina de preparació de cadascun dels tres tipus d'activitats és la següent:

la Carme s'encarrega del 50 % de la preparació dels tallers familiars, del 30 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia;

el Saïd s'encarrega del 30 % de la preparació dels tallers familiars, del 50 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 20 % de la preparació dels seminaris en línia;

el Martí s'encarrega del 20 % de la preparació dels tallers familiars, del 20 % de la preparació de les xerrades en centres educatius i del 60 % de la preparació dels seminaris en línia.

Agrupem aquesta informació en les matrius següents:

$$R = \begin{pmatrix} 0{,}50 & 0{,}30 & 0{,}20 \\ 0{,}30 & 0{,}50 & 0{,}20 \\ 0{,}20 & 0{,}20 & 0{,}60 \end{pmatrix}, \quad h = \begin{pmatrix} 24 \\ 21 \\ 15 \end{pmatrix}$$

que corresponen a la matriu de repartiment percentual i al vector d'hores totals dedicades a la preparació de cada tipus d'activitat, respectivament.

Hores dedicades per la Carme:

Hores dedicades pel Saïd:

Hores dedicades pel Martí: