Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco 2026 · Ordinaria

Una empresa que prepara cestas de Navidad dispone de 2400 tabletas de turrón del blando y 1500 tabletas de turrón del duro. La empresa prepara dos tipos de cestas, A y B. Las cestas del tipo A contienen 2 tabletas de turrón del blando y 1 tableta de turrón del duro. Con cada una de estas cestas la empresa obtiene un beneficio de 20 euros. Las cestas del tipo B contienen 2 tabletas de turrón del blando y 3 tabletas de turrón del duro, y con cada una de estas cestas la empresa obtiene un beneficio de 30 euros. Se quiere conocer cuántas cestas de cada tipo hay que preparar y vender para que el beneficio sea máximo.

(a)

[0,75 puntos] Di cuál es la función objetivo y cuáles son las restricciones.

(b)

[0,75 puntos] Dibuja la región factible.

(c)

[0,5 puntos] ¿Cuántas cestas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el mayor beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio?

El 70 % de los jóvenes de un país lee novelas, el 40 % lee cómics y el 20 % no lee ni novelas ni cómics. Se elige al azar a una persona joven de este país.

(a)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que lea novelas o cómics.

(b)

[0,75 puntos] Sabiendo que lee novelas, calcula la probabilidad de que lea cómics.

(c)

[0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que lea novelas y no cómics?

El 70 % de los jóvenes de un país lee novelas, el 40 % lee cómics y el 20 % no lee ni novelas ni cómics. Se elige al azar a una persona joven de este país.

(d)

(1 punto) Se eligen ahora a 600 jóvenes de este país. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 228 y menos de 270 lean cómics?

PROBLEMA 3 (OPCIÓN 3A)

(a)

[1,5 puntos] Dibuja el recinto acotado delimitado por las funciones $y = x - 1$, $y = 2x - 2$, $y = x^2 - 2x + 1$.

(b)

[1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

(OPCIÓN 3B)

La cantidad de agua que consume una máquina para funcionar depende del tiempo y viene dada por

$$f(t) = t^3 - 2t^2 + t,\quad t > 0$$

donde $t$ es el tiempo medido en horas.

(a)

(1 punto) ¿A qué hora consume la máquina la menor cantidad de agua? ¿Cuál es esa cantidad mínima?

(b)

(0,5 puntos) Determina los periodos de crecimiento y decrecimiento del consumo de agua.

(c)

(0,5 puntos) ¿Tiene la función $f(t)$ algún punto de inflexión? En caso afirmativo, calcula el punto o los puntos.

(d)

(1 punto) Halla la recta tangente a $f(t)$ paralela a la recta $y - \frac{7}{4}t = 5$.

PROBLEMA 4. (2 puntos) Responde solo a una de las opciones.

(OPCIÓN 4A)

Se consideran las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

(a)

(0,5 puntos) ¿Es la matriz $B$ invertible?

Sí

No

(b)

(1,5 puntos) Resuelve la ecuación matricial $BX - A = A^2$.

PROBLEMA 4. (OPCIÓN 4B)

Se considera el siguiente sistema lineal dependiente del parámetro real $k$:

$$\begin{cases} x - 3y + z = 0 \\ x - ky - 3z = 0 \\ 5x - z = 0 \end{cases}$$

(a)

(1 punto) Discute el sistema para los distintos valores de $k$.

(b)

(1 punto) Resuelve el sistema en los casos que sea posible.