Problema 3 · Matemáticas II PAU Galicia Extraordinaria 2023

a) Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.

Solución: Teorema de Rolle: si $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$, y tal que $f(a) = f(b)$, entonces existe algún $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$. Teorema del valor medio: si $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe algún $c \in (a, b)$ tal que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$.

b) ¿Está $f$ en las hipótesis del teorema del valor medio?:

Solución: Sí

b) Justificación de las hipótesis:

Solución: La función $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ es continua en $[0, 1]$ porque el radicando es continuo y no negativo en dicho intervalo. Además, $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ está definida en todo $(0, 1)$, por lo que $f$ es derivable en $(0, 1)$.

b) Valor $c$ para el cual se cumple la tesis de ese teorema:

Solución: $\sqrt{1/2}$ / $1/\sqrt{2}$ / $\sqrt{2}/2$