Problema 4 · Matemáticas II PAU Galicia Extraordinaria 2023

a) $\int (\sin x)^5 \cos x \, dx$:

Solución: $\frac{(\sin x)^6}{6}$

a) $\int \frac{\ln x}{x} \, dx$:

Solución: $\frac{1}{2}(\ln x)^2$

b) Desarrollo de la integración por partes de $\int \frac{\ln x}{x} \, dx$:

Solución: Tomando $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}dx$; $dv = \frac{1}{x}dx$, $v = \ln x$: $$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = (\ln x)^2 - \int \frac{\ln x}{x} \, dx$$ $$2 \int \frac{\ln x}{x} \, dx = (\ln x)^2 + K \implies \int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C$$

b) Algún valor de $B$ tal que $\int_e^B (\ln x)/x \, dx = 3/2$:

Solución: $e^2$ / $e^{-2}$