Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2025 · Ordinaria

Problema 1A

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} mx + 2y + z = 1 \\ 2x + my + z = m \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases} \quad \text{donde } m \in \mathbb{R}$$

a)

Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$, indicando el número de soluciones en cada caso. [1,5 puntos]

b)

Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m = 3$. [1 punto]

Problema 1B

Se consideran las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$

a)

Calcular la matriz $M = A^t A - B B^t$, donde $A^t$ y $B^t$ representan las matrices transpuestas de $A$ y $B$, respectivamente. [1 punto]

b)

Hallar la matriz $X$ que cumple la igualdad $XN = C$. [1,5 puntos]

Se considera la función $f(x) = 2xe^{-2x^2}$.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]

1.

2.

3.

4.

5.

Se considera la función $f(x) = 2xe^{-2x^2}$.

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. [1 punto]

1.

2.

Sean las rectas $r \equiv \frac{x}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{2}$ y $s \equiv x - 1 = \frac{y-m}{m-1} = \frac{z-3}{3}$.

a)

Comprobar que las rectas $r$ y $s$ se cortan para cualquier valor de $m$. [1,5 puntos]

b)

Para $m = 6$ hallar el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$x =$

$y =$

$z =$

Se considera el vector $\vec{u} = (3, -1, 5)$.

a)

Determinar $a$ para que el vector $\vec{t} = (1, a, 0)$ sea perpendicular a $\vec{u}$. [0,75 puntos]

b)

Determinar un vector $\vec{w}$ perpendicular a $\vec{u} = (3, -1, 5)$ y $\vec{v} = (2, 6, 0)$. [0,75 puntos]

(

,

,

)

c)

Dados $\vec{u} = (3, -1, 5)$, $\vec{v} = (2, 6, 0)$ y $\vec{w} = (-3, 1, 2)$. Determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$. [1 punto]

APARTADO 4: (elegir UN problema)

Problema 4A.

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en día nublado es 0,09 y en día seco 0,005. Durante un periodo de 10 días ha habido 7 días secos y 3 nublados. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días, se pide:

a)

Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado. [1,25 puntos]

b)

Hallar la probabilidad de que fuera en día seco. [1,25 puntos]

APARTADO 4: (elegir UN problema)

Problema 4B.

De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.

a)

Hallar la probabilidad de que sean de distinto color. [0,75 puntos]

b)

Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul. [0,75 puntos]

c)

Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja. [1 punto]