Examen de Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha 2021 · Extraordinaria

Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

[1 punto] Calcula razonadamente la matriz inversa de $A$.

b)

[1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX + 3I = A$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x + z = a \\ ax + 2y + z = 3 \end{cases}$$

a)

[1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

b)

[0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

a)

[1,25 punto] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle \int x \cdot \cos(3x)dx$.

b)

[1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle \int \frac{dx}{2x^2 + 1}$.

Sean los planos $\pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3$ y $\pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0$.

a)

[1 punto] Determina razonadamente el valor de $a$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares.

Sean los planos $\pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3$ y $\pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0$.

b)

[1,5 puntos] Para $a = 1$ calcula la distancia del punto $P(2,0,1)$ al plano $\pi_1$.

a)

[1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{e^{x-1} - 1}$.

b)

[1,5 puntos] Dada la función

$$f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{x-1} & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ x & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

estudia su continuidad en $x = 0$ y en $x = 2$ e indica el tipo de discontinuidad, si la hubiera.

Sea la función $f(x) = \dfrac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}$.

a)

[1,5 puntos] Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifícalos.

b)

[1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.

a)

[1 punto] Sea la función $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1$, con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1, 1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.

b)

[1,5 puntos] Sea la función $f(x) = x\operatorname{sen}(x) - \cos(x)$. Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1, 1]$.

En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20 % de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60 % de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90 % de pacientes leves y un 10 % de pacientes graves.

Apartado a)

En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El $20\%$ de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el $60\%$ de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un $90\%$ de pacientes leves y un $10\%$ de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:

a.1)

[0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?

a.2)

[0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?

En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20 % de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60 % de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90 % de pacientes leves y un 10 % de pacientes graves.

Apartado b)

En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.

b.1)

[0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?

b.2)

[0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?