Problema 7 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2021

Tema: Derivadas y sus aplicaciones: tangentes, monotonía, extremos y curvatura · Del examen Extraordinaria (2021)

Enunciado

a)

[1 punto] Sea la función f(x)=a⋅x3+b⋅x2+x−1f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1, con a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determina los valores de aa y bb para que la gráfica de f(x)f(x) pase por el punto (1,1)(1, 1) y tenga aquí un punto de inflexión.

b)

[1,5 puntos] Sea la función f(x)=xsen⁡(x)−cos⁡(x)f(x) = x\operatorname{sen}(x) - \cos(x). Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función f(x)f(x) tiene al menos un extremo relativo en el intervalo [−1,1][-1, 1].

Enunciado: Problema 7 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determina el valor de a para que la gráfica de f(x) pase por el punto (1, 1) y tenga aquí un punto de inflexión.

Solución: -1/2

a) Determina el valor de b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (1, 1) y tenga aquí un punto de inflexión.

Solución: 3/2

b) Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función f(x) tiene al menos un extremo relativo en el intervalo [-1, 1].

Solución: Teorema de Rolle: Si f(x)f(x) es continua en [a,b][a, b] y derivable en (a,b)(a, b) tal que f(a)=f(b)f(a) = f(b), entonces existe un punto c∈(a,b)c \in (a, b) tal que f′(c)=0f'(c) = 0. Como f(−1)=f(1)=0,3011687f(-1) = f(1) = 0{,}3011687, y f(x)f(x) es continua en [−1,1][-1, 1] y derivable en (−1,1)(-1, 1), existe c∈(−1,1)c \in (-1, 1) tal que f′(c)=0f'(c) = 0, que es un extremo relativo.

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